\[f(x)=-ln(x^{3}-3x)\]
Passo allo svolgimento.
STEP 1. Calcolo il dominio della funzione, cioè il suo insieme di esistenza (I.E.)
\[I.E. => x^{3}-3x>0; \ x(x^{2}-3>0 \ \wedge x^{2}-3>0\rightarrow x<-\sqrt{3} \ \vee x>\sqrt{3}\]
Le soluzioni sono quindi 2
\[S_{1} = x>0; S_{2}= x<-\sqrt{3} \ \vee x>\sqrt{3}\]
Perciò il dominio si può scrivere come segue
\[D_{f} = \left \{ x\in \mathbb{R}:-\sqrt{3} <x<0 \ \vee \ x>\sqrt{3}\right \} = (-\sqrt{3},0) \ \cup (\sqrt{3}, +\infty)\]
STEP 2.Calcolo l'intersezione con gli assi
\[\left\{\begin{matrix} x=0 & \nexists \ per \ I.E. \\ ...& \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ E \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} y=0 & \\ -ln(x^{3}-3x)=0& \end{matrix}\right. \rightarrow O(0,0)\]
STEP 3. Studio del segno di f(x)
\[-ln(x^{3}-3x)>0 \rightarrow \ dis. \ logaritmica \rightarrow x^{3}-3x>e^{0}; x^{3}-3x-1>0 \rightarrow come \ si \ risolve?\]
STEP 4. Calcolo i limiti in base a quanto vale il dominio della funzione
\[\lim_{x\rightarrow -\sqrt3^{+}}-ln(x^{3}-3x)=+\infty \ \ \ \ \ x=-\sqrt3 \ \ \ A.V. \ (x\rightarrow -\sqrt3^{+} \Rightarrow y\rightarrow +\infty)\]
\[\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-ln(x^{3}-3x)=+\infty \ \ \ \ x=0 \ \ \ A.V. \ (x\rightarrow 0^{-} \Rightarrow y\rightarrow +\infty)\]
\[\lim_{x\rightarrow \sqrt3^{+}}-ln(x^{3}-3x)=+\infty \ \ \ \ \ \ x= \sqrt3 \ \ \ A.V. \ (x\rightarrow \sqrt3^{+} \Rightarrow y\rightarrow +\infty)\]
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}-ln(x^{3}-3x)= +\infty-\infty=\xrightarrow[INDETERMINATA]{FORMA}-\infty\]
In base a quale regola l'ultimo limite risulta "meno infinito"? Io pensavo che risultasse "più infinito", perché il grado della prima x è più alto del grado della seconda x, ma controllando con il "solito" tool su internet (come questo -> http://www.youmath.it/ym-tools-calcolat ... zione.html) mi dà "meno infinito".
STEP 5. Calcolo della derivata prima di f(x)
\[f'(x)= \ ?\]
Non so farla proprio. Ho provato a vedere qualche video su easymath, ma continuo a non sapere come svolgere la derivata prima di questo caso particolare.
STEP 6 Calcolo della derivata seconda di f(x)
Vedi step 5. Il fatto è che basta sapere quale è la derivata prima per poter poi eseguire la derivata prima della derivata prima e trovarsi così la derivata seconda. Beh, non so fare la prima e di conseguenza non posso fare la seconda.
STEP 7. Disegnare il grafico della funzione
Posterò il disegno alla fine dell'esercizio, non appena avrò fatto derivata prima e seconda.
Ricapitolando: STEP 3 e 5 non li so proprio fare (lo STEP 6 dipende dallo STEP 5), mentre nello STEP 4 ho quel dubbio sul limite di x che tende a più infinito. Puoi illuminarmi su quei dubbi e controllare se se la funzione è corretta? Purtroppo non ho il risultato di ogni singolo STEP
.Grazie comunque per la tua assistenza.
Lo immaginavo che fosse un po' complicato...
