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Non riesco a svolgere per intero lo studio della funzione:

\[f(x)=-ln(x^{3}-3x)\]

Passo allo svolgimento.

STEP 1. Calcolo il dominio della funzione, cioè il suo insieme di esistenza (I.E.)

\[I.E. => x^{3}-3x>0; \ x(x^{2}-3>0 \ \wedge x^{2}-3>0\rightarrow x<-\sqrt{3} \ \vee x>\sqrt{3}\]

Le soluzioni sono quindi 2

\[S_{1} = x>0; S_{2}= x<-\sqrt{3} \ \vee x>\sqrt{3}\]

Perciò il dominio si può scrivere come segue

\[D_{f} = \left \{ x\in \mathbb{R}:-\sqrt{3} <x<0 \ \vee \ x>\sqrt{3}\right \} = (-\sqrt{3},0) \ \cup (\sqrt{3}, +\infty)\]

STEP 2.Calcolo l'intersezione con gli assi

\[\left\{\begin{matrix} x=0 & \nexists \ per \ I.E. \\ ...& \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ E \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} y=0 & \\ -ln(x^{3}-3x)=0& \end{matrix}\right. \rightarrow O(0,0)\]

STEP 3. Studio del segno di f(x)

\[-ln(x^{3}-3x)>0 \rightarrow \ dis. \ logaritmica \rightarrow x^{3}-3x>e^{0}; x^{3}-3x-1>0 \rightarrow come \ si \ risolve?\]

STEP 4. Calcolo i limiti in base a quanto vale il dominio della funzione

\[\lim_{x\rightarrow -\sqrt3^{+}}-ln(x^{3}-3x)=+\infty \ \ \ \ \ x=-\sqrt3 \ \ \ A.V. \ (x\rightarrow -\sqrt3^{+} \Rightarrow y\rightarrow +\infty)\]

\[\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-ln(x^{3}-3x)=+\infty \ \ \ \ x=0 \ \ \ A.V. \ (x\rightarrow 0^{-} \Rightarrow y\rightarrow +\infty)\]

\[\lim_{x\rightarrow \sqrt3^{+}}-ln(x^{3}-3x)=+\infty \ \ \ \ \ \ x= \sqrt3 \ \ \ A.V. \ (x\rightarrow \sqrt3^{+} \Rightarrow y\rightarrow +\infty)\]

\[\lim_{x\rightarrow +\infty}-ln(x^{3}-3x)= +\infty-\infty=\xrightarrow[INDETERMINATA]{FORMA}-\infty\]

In base a quale regola l'ultimo limite risulta "meno infinito"? Io pensavo che risultasse "più infinito", perché il grado della prima x è più alto del grado della seconda x, ma controllando con il "solito" tool su internet (come questo -> http://www.youmath.it/ym-tools-calcolat ... zione.html) mi dà "meno infinito".

STEP 5. Calcolo della derivata prima di f(x)

\[f'(x)= \ ?\]

Non so farla proprio. Ho provato a vedere qualche video su easymath, ma continuo a non sapere come svolgere la derivata prima di questo caso particolare.

STEP 6 Calcolo della derivata seconda di f(x)

Vedi step 5. Il fatto è che basta sapere quale è la derivata prima per poter poi eseguire la derivata prima della derivata prima e trovarsi così la derivata seconda. Beh, non so fare la prima e di conseguenza non posso fare la seconda.

STEP 7. Disegnare il grafico della funzione

Posterò il disegno alla fine dell'esercizio, non appena avrò fatto derivata prima e seconda.

Ricapitolando: STEP 3 e 5 non li so proprio fare (lo STEP 6 dipende dallo STEP 5), mentre nello STEP 4 ho quel dubbio sul limite di x che tende a più infinito. Puoi illuminarmi su quei dubbi e controllare se se la funzione è corretta? Purtroppo non ho il risultato di ogni singolo STEP .

Grazie comunque per la tua assistenza.

Ciao, riguardo al limite va bene il tuo ragionamento sul termine dominante nell'argomento del logaritmo (e quindi +infinito) ma il logaritmo ha un meno davanti quindi:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } - ln({x^3} - 3x) = - [\ln ( + \infty )] = - [ + \infty ] = - \infty \]
per la disequazione logaritmica occorre applicare le tecniche risolutive delle disequazioni logaritmiche (presto disponibili nei video-tutorials di teoria) e si ha:
\[ - ln({x^3} - 3x) > 0\;\; \to \;\;\;ln({x^3} - 3x) < 0\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;ln({x^3} - 3x) < \ln (1)\;\; \to \;\;\;{x^3} - 3x < 1\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;{x^3} - 3x - 1 < 0\]
quindi una disequazione di 3° grado ma che purtroppo non è fattorizzabile con Ruffini (non ha radici intere o frazionarie) e quindi in tal caso non è risolvibile con tecniche algebriche! ... Occorrerebbe impostare uno studio grafico o numerico ma di solito in questi casi (quando non è espressamente richiesto dal testo) si preferisce rinunciare allo studio del segno!

Riguardo alle derivate ti consiglio di studiarti bene tutta la parte sul calcolo differenziale e le tecniche di calcolo delle derivate! ...
Per fortuna è addirittura disponibile sul nostro sito, già da 2 settimane, un intero corso di 50 video-lezioni di teoria (con tantissimi esempi) sulle derivate e il calcolo differenziale.

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A presto.

EDIT

Sono riuscito a capire qual è la derivata prima e seconda, ma non sono finiti i problemi purtroppo. Quindi

STEP 5

\[f'(x)=-\left (\frac{3x^2-3}{x^3-3x} \right )>0\]

E ne studiamo la crescenza, decrescenza e la presenza di minimi o massimi relativi

\[N(x)>0 \ \ ossia \ \ -3x^2-3>0 \Rightarrow x^2<-1 \ \ (\nexists x \in \mathbb{R})\]
\[D(x)>0 \ \ ossia \ \ x^3-3x>0 \Rightarrow -\sqrt{3}<x<0 \ \vee \ x>0\]

Se disegniamo il grafico ci accorgiamo che

\[I.E. ---\nexists \ f(x)---\bullet _{-\sqrt{3}}+++++++++\bullet _{0}----\nexists f(x)-----\bullet _{\sqrt{3}}+++++\]

\[N(x)----------------------------------\]
\[D(x)------\bullet _{-\sqrt{3}}+++++++++\bullet _{0}---------\bullet _{\sqrt{3}}+++++\]
\[Segno \ di \ f'(x) \ \ \setminus \setminus \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \setminus \setminus \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\]

Quindi la funzione decresce sempre nel dominio? Non so non mi quadra

STEP. 6 Derivata seconda >0

\[f''(x)=\frac{3x^4+9}{(x^3-3x)^{2}}>0\]

Qui il numeratore maggiore di 0 è impossibile (quindi tutto negativo nel grafico), mentre il denominatore maggiore di 0 dà questa espressione

\[D(x)>0\rightarrow (x^3-3x)^{2}>0\]

Quest'ultima come si risolve?

maurizio.schirinzi ha scritto:quindi una disequazione di 3° grado ma che purtroppo non è fattorizzabile con Ruffini (non ha radici intere o frazionarie) e quindi in tal caso non è risolvibile con tecniche algebriche! ... Occorrerebbe impostare uno studio grafico o numerico ma di solito in questi casi (quando non è espressamente richiesto dal testo) si preferisce rinunciare allo studio del segno!

Lo immaginavo che fosse un po' complicato...

Comunque no, non è "particolarmente" richiesto, quindi si può tralasciare, come hai scritto tu.

O.k. grazie mille dell'osservazione sul mio errore nei limiti (almeno il ragionamento è corretto e questo va bene). Per il resto, sì hai ragione quando scrivi che devo imparare meglio le derivate (seguirò i video).

I miei ultimi problemi su questo esercizio riguardano la verifica del segno della derivata e lo sviluppo di una disequazione con all'interno un fattore elevato alla terza a sua volta elevato alla seconda. Come si procede in quel caso? (VEDI IL MESSAGGIO SOPRA)

Grazie ancora

Ciao, purtroppo, da quello che vedo, credo che tu abbia molte lacune sullo studio dei segni dei polinomi nelle disequazioni fratte e nelle relative tecniche risolutive. Ad esempio lo studio del segno del numeratore della derivata prima è sbagliato (c'è un segno sbagliato nel cambiare di segno). Nella derivata seconda dici che il denominatore > 0 è impossibile e invece il numeratore è proprio sempre positivo!!

Purtroppo spesso le difficoltà nello studio dei segni dei polinomi nelle disequazioni fratte derivano da alcune tecniche didattiche di molti insegnanti del liceo (a mio parere sbagliate!) riguardo all'impostazione dello studio del segno del numeratore e del denominatore oltre che nello studio dei segni dei polinomi di 1° e 2° grado. Occorre capire bene che per i polinomi di 1° e 2° grado ci sono i loro "schemi dei segni" che non dipendono dal verso della domanda della disequazione ma sono "propri" dei polinomi stessi! ... Pertanto per studiare i loro segni non bisogna impostare una disequazione guardando il verso della disequazione fratta (che è solo la domanda finale alla quale bisogna rispondere) ma procedere meccanicamente con le regole dei segni dei polinomi e riportarli nello schema complessivo del segno per poi, dopo aver calcolato il segno complessivo della frazione, rispondere alla domanda della disequazione.

Speriamo di chiarire al più presto e definitivamente queste questioni degli studi dei segni, fonte di molte confusioni per tantissimi studenti delle superiori, con i futuri video-tutorials su quegli argomenti!

Nel frattempo ti consiglio un bel ripasso da qualche buon libro di quegli studi di segno e delle relative tecniche risolutive delle disequazioni fratte che per studiare le funzioni occorre saper risolvere molto meccanicamente e velocemente senza alcun dubbio sugli studi dei segni!

A presto.

Ahimè devo purtroppo confermare tutto. Le mie lacune sono molto vistose e purtroppo sto cercando di colmare con il fai-da-te, con tutti i pericoli e le lungaggini che questo comporta.

Proverò ad ascoltare il tuo consiglio.

Grazie comunque.