Ciao, per il calcolo della derivata di una funzione con i valori assoluti e lo studio della derivabilità nei punti sospetti occorre dapprima aprire la funzione nei casi del valore assoluto e calcolare le derivate con le regole di derivazione; successivamente occorre studiare la derivabilità della funzione a parte nei punti di separazione del valore assoluto calcolando il limite del rapporto incrementale in quei punti o meglio usando il teorema criterio di sufficiente derivabilità (dato che la funzione e continua in quei punti). Ecco lo svolgimento:
\[f(x) = \frac{{1 + \cos (x)}}{{1 - \left| {\cos (x)} \right|}}\;\;\;\;\;{D_f} = R - \{ k\pi \} \]
\[f(x) = \frac{{1 + \cos (x)}}{{1 - \left| {\cos (x)} \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 + \cos (x)}}{{1 - \cos (x)}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cos (x) \ge 0\;\;\; \to \;\;\; - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \le x \le \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\
\frac{{1 + \cos (x)}}{{1 + \cos (x)}} = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\cos (x) < 0\;\;\; \to \;\;\;\;\;\frac{\pi }{2} + 2k\pi < x < \frac{3}{2}\pi + 2k\pi
\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}
D\,[\frac{{1 + \cos (x)}}{{1 - \cos (x)}}] = \frac{{ - sen(x)(1 - \cos (x)) - (1 + \cos (x))sen(x)}}{{{{(1 - \cos (x))}^2}}} = \\
= \frac{{ - sen(x) + sen(x)\cos (x) - sen(x) - \cos (x)sen(x)}}{{{{(1 - \cos (x))}^2}}} = \frac{{ - 2sen(x)}}{{{{(1 - \cos (x))}^2}}}
\end{array}\]
\[D\,[1] = 0\]
dunque
\[f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ - 2sen(x)}}{{{{(1 - \cos (x))}^2}}}\;\;\;\;\;\; - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \le x \le \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\
0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\pi }{2} + 2k\pi < x < \frac{3}{2}\pi + 2k\pi
\end{array} \right.\]
per i punti sospetti di derivabilità:
\[\left[ \begin{array}{l}
{f_ + }'(\frac{\pi }{2}) = ... = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} f'(x)\\
{f_ - }'(\frac{\pi }{2}) = ... = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f'(x)
\end{array} \right.\]
\[\left[ \begin{array}{l}
{f_ + }'( - \frac{\pi }{2}) = ... = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ + }} f'(x)\\
{f_ - }'( - \frac{\pi }{2}) = ... = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f'(x)
\end{array} \right.\]
per maggiori dettagli su questi ultimi calcoli ti suggerisco di guardare i video-tutorials sullo studio della derivabilità e continuità ...
Saluti.
Inviato: 20/08/2013, 14:53