Studio di funzione irrazionale

[francesca91agr]

ciao, ho difficoltà a calcolare dominio, intersezioni con gli assi e segno, sicuramente per lacune mai colmate. La funzione è la seguente:

\[f(x)=\sqrt{x-1}- \sqrt{x}\]

il dominio si deve porre \[\geq 0\] perchè la radice è di ordine pari; quindi :
\[x+1\geq 0\rightarrow x\rightarrow \geq -1\]
\[x\geq 0\]

la soluzione dovrebbe essere quindi \[x< -1\] e\[x\geq 0\]

le intersezioni con gli assi :
- mettendo la funzione a sistema con l'asse x mi viene \[y=1\] e \[x=0\] , ma mettendola a sistema con l'asse delle y mi viene \[0=-1\] e\[y=0\] quindi credo che ci sia qualcosa che non va...

veniamo quindi al segno:
\[\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\geq 0\]
come devo procedere ? mettendo \[x+1\geq 0\rightarrow x\geq -1\] e \[x\geq 0\] ? per cui il risultato finale dovrebbe essere \[x\geq 0\]?

vi prego aiutatemi...

[maurizio.schirinzi]

Ciao, prima di tutto credo che ci sia un problema con il testo della funzione! ... nella prima radice c'è x+1 o x-1 ?? ... dalle condizioni che poni per il campo di esistenza sembrerebbe che nella radice ci sia x+1.
L'altro problema è nel modo in cui risolvi il campo di esistenza: infatti supponendo che nella prima radice ci sia x+1 il C.E. sarebbe il seguente sistema di disequazioni:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\;\;\; \to \;\;\;x \ge - 1\\
x \ge 0
\end{array} \right.\]
la cui soluzione per "intersezione" delle soluzioni delle due disequazioni sarà:
\[x \ge 0\] che sarà quindi il dominio della funzione!

Resto in attesa di precisazioni sul testo per le altre considerazioni ...

Saluti.

[francesca91agr]

si ho sbagliato io nella traccia, non me ne sono accorta.
la funzione è\[f(x)= \sqrt{x+1}-\sqrt{x}\]

credo di aver sbagliato anche a scrivere la risoluzione della disequazione rivedendola meglio.
\[\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\geq 0\]
\[\left ( \sqrt{x+1} \right )^{2}\geq \left ( \sqrt{x} \right )^{2}\]
\[x+1\geq x\]
\[1\geq 0\]
quindi da questo dovrei supporre che la funzione è sempre positiva ?

inoltre continuando con lo studio della funzione e calcolando la derivata prima mi viene
\[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\]
quindi devo vedere dove la derivata prima si annulla
\[\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}= 0\]
ma non so come procedere nel calcolo

[maurizio.schirinzi]

Si la funzione è sempre positiva! ...

Per quanto riguarda la derivata occorre studiare il segno completo:
\[f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x - \sqrt {x + 1} }}{{2\sqrt x \sqrt {x + 1} }} \ge 0\]
studiando il segno del numeratore e del denominatore si ha:
\[\begin{array}{l}
N:\;\sqrt x - \sqrt {x + 1} \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\sqrt x \ge \sqrt {x + 1} \;\;\; \to \;\;\;x \ge x + 1\;\;\; \to \;\;\;0 \ge 1\;\;\;\not \exists x \in R\;\;\;(N < 0)\\
D:\;2\sqrt x \sqrt {x + 1} \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x \ge 0
\end{array}\]
da cui tracciando lo schema del segno complessivo del numeratore e del denominatore si deduce che:
\[f'(x) < 0\;\;\;\forall x > 0\]
dunque la funzione e strettamente decrescente in tutto il dominio x>0

Saluti.

[francesca91agr]

grazie mille