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ciao, ho difficoltà a calcolare dominio, intersezioni con gli assi e segno, sicuramente per lacune mai colmate. La funzione è la seguente:

\[f(x)=\sqrt{x-1}- \sqrt{x}\]

il dominio si deve porre \[\geq 0\] perchè la radice è di ordine pari; quindi :
\[x+1\geq 0\rightarrow x\rightarrow \geq -1\]
\[x\geq 0\]

la soluzione dovrebbe essere quindi \[x< -1\] e\[x\geq 0\]

le intersezioni con gli assi :
- mettendo la funzione a sistema con l'asse x mi viene \[y=1\] e \[x=0\] , ma mettendola a sistema con l'asse delle y mi viene \[0=-1\] e\[y=0\] quindi credo che ci sia qualcosa che non va...

veniamo quindi al segno:
\[\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\geq 0\]
come devo procedere ? mettendo \[x+1\geq 0\rightarrow x\geq -1\] e \[x\geq 0\] ? per cui il risultato finale dovrebbe essere \[x\geq 0\]?

vi prego aiutatemi...

Ciao, prima di tutto credo che ci sia un problema con il testo della funzione! ... nella prima radice c'è x+1 o x-1 ?? ... dalle condizioni che poni per il campo di esistenza sembrerebbe che nella radice ci sia x+1.
L'altro problema è nel modo in cui risolvi il campo di esistenza: infatti supponendo che nella prima radice ci sia x+1 il C.E. sarebbe il seguente sistema di disequazioni:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\;\;\; \to \;\;\;x \ge - 1\\
x \ge 0
\end{array} \right.\]
la cui soluzione per "intersezione" delle soluzioni delle due disequazioni sarà:
\[x \ge 0\] che sarà quindi il dominio della funzione!

Resto in attesa di precisazioni sul testo per le altre considerazioni ...

Saluti.

si ho sbagliato io nella traccia, non me ne sono accorta.
la funzione è\[f(x)= \sqrt{x+1}-\sqrt{x}\]

credo di aver sbagliato anche a scrivere la risoluzione della disequazione rivedendola meglio.
\[\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\geq 0\]
\[\left ( \sqrt{x+1} \right )^{2}\geq \left ( \sqrt{x} \right )^{2}\]
\[x+1\geq x\]
\[1\geq 0\]
quindi da questo dovrei supporre che la funzione è sempre positiva ?

inoltre continuando con lo studio della funzione e calcolando la derivata prima mi viene
\[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\]
quindi devo vedere dove la derivata prima si annulla
\[\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}= 0\]
ma non so come procedere nel calcolo

Si la funzione è sempre positiva! ...

Per quanto riguarda la derivata occorre studiare il segno completo:
\[f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x - \sqrt {x + 1} }}{{2\sqrt x \sqrt {x + 1} }} \ge 0\]
studiando il segno del numeratore e del denominatore si ha:
\[\begin{array}{l}
N:\;\sqrt x - \sqrt {x + 1} \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\sqrt x \ge \sqrt {x + 1} \;\;\; \to \;\;\;x \ge x + 1\;\;\; \to \;\;\;0 \ge 1\;\;\;\not \exists x \in R\;\;\;(N < 0)\\
D:\;2\sqrt x \sqrt {x + 1} \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x \ge 0
\end{array}\]
da cui tracciando lo schema del segno complessivo del numeratore e del denominatore si deduce che:
\[f'(x) < 0\;\;\;\forall x > 0\]
dunque la funzione e strettamente decrescente in tutto il dominio x>0

Saluti.

grazie mille