Studio di funzione esponenziale con modulo

[Mora9210]

\[y=ln (e^{x}-2)-3\left | x \right |\]


Salve a Tutti..
vorrei una mano con questo studio di funzione..
mi sono bloccata!
Grazie anticipatamente

[maurizio.schirinzi]

Ciao, la funzione \[f(x) = ln({e^x} - 2) - 3\left| x \right|\] ha dominio \[{D_f} = ]\ln (2), + \infty [\] infatti dovrà essere: \[{e^x} - 2 > 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;{e^x} > 2\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;x > \ln (2)\] e poichè $\ln (2) > 0$ allora la x dovrà sempre essere positiva; possiamo pertanto aprire il valore assoluto con il segno positivo e studiare una normale funzione senza valore assoluto: \[f(x) = ln({e^x} - 2) - 3x\]
Saluti.

PS: Il topic verrà spostato dallo User Admin nella sezione più appropriata "Funzioni con Valori Assoluti".

[Mora9210]

Scusi ancora per il disturbo..
potrebbe aiutarmi con i limiti?
non riesco a trovare gli asintoti!
la ringrazio anticipatamente!

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ecco i limiti per gli asintoti:

1) per gli asintoti verticali:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \ln {{(2)}^ + }} [ln({e^x} - 2) - 3x] = \ln ({0^ + }) - 3\ln (2) = - \infty - 2\ln (2) = - \infty \] asintoto verticale!

2) per gli asintoti orizzontali:
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ln({e^x} - 2) - 3x] = \not \exists \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [ln({e^x} - 2) - 3x] = \ln ({e^{ + \infty }} - 2) - 3( + \infty ) = \ln ( + \infty ) - \infty = [ + \infty - \infty ]*\\
* = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [ln({e^x} - 2) - 3x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [ln({e^x}(1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - 3x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [ln({e^x}) + \ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - 3x] = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [xln(e) + \ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - 3x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [x + \ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - 3x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [\ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - 2x] = \ln (1 - 0) - 2( + \infty ) = \\
= \ln (1) - \infty = 0 - \infty = - \infty
\end{array}\] niente asintoti orizzontali!

3) per gli asintoti obliqui:
\[\begin{array}{l}
m = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ln({e^x} - 2) - 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [\frac{{ln({e^x}(1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - 3x}}{x}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [\frac{{ln({e^x}) + \ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - 3x}}{x}] = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [\frac{{xln(e) + \ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - 3x}}{x}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [\frac{{x + \ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - 3x}}{x}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [\frac{{\ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - 2x}}{x}] = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [\frac{{\ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}})}}{x} - 2] = \frac{0}{{ + \infty }} - 2 = - 2\\
q = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - mx] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [ln({e^x} - 2) - 3x + 2x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [ln({e^x} - 2) - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [ln({e^x}(1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - x] = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [ln({e^x}) + \ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [x + \ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}}) - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [\ln (1 - \frac{2}{{{e^x}}})] = \ln (1) = 0
\end{array}\] asintoto obliquo : \[y = mx + q\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;y = - 2x\]
In allegato il grafico finale.

Saluti.