Ciao,
\[f(x) = \left| {1 - {{\ln }^3}(x)} \right|\]
- il dominio della funzione è semplicemente il campo di esistenza del logaritmo quindi x>0
- il segno della funzione, dove esiste, trattandosi di una esppressione racchiusa in valore assoluto sarà complessivamente un oggetto mai negativo quindi positivo o nullo; si annulla quando si annulla il contenuto del valore assoluto cioè quando
\[1 - {\ln ^3}(x) = 0 \to {\ln ^3}(x) = 1 \to \ln (x) = \sqrt[3]{1} \to \ln (x) = 1 \to x = {e^1} \to x = e\] dove x=e sarà quindi l'intercetta con l'asse x
- per le altre fasi dello studio è sufficiente e più comodo studiare prima la funzione senza valore assoluto cioè
\[f(x) = 1 - {\ln ^3}(x)\]
- quindi studiamo il segno di \[1 - {\ln ^3}(x)\]
\[1 - {\ln ^3}(x) \ge 0 \to {\ln ^3}(x) \le 1 \to \ln (x) \le 1 \to x \le e\]
la funzione è positiva per x<e (ma sempre con x>0) e negativa per x>e
- poi basta procedere con i limiti per la ricerca di eventuali asintoti verticali (x tendente a 0+ la y tende a +infinito, asintoto verticale) e poi limite per x tendente a +infinito la y tende a -infinito (tutto solo dalla parte dove esiste la funzione cioè x>0)
- con la derivata si trovano eventuali max e minimi: ne risulta una derivata sempre negativa per tutto il dominio x>0
\[f'(x) = - \frac{3}{x}{\ln ^2}(x)\]
pertanto non ci sono max e minimi e la funzione è strettamente decrescente in tutto il dominio x>0
- a questo punto disegnato il grafico della funzione senza valore assoluto basta ribaltare rispetto all'asse x le parti del grafico negative per renderle positive e si ottiene il grafico della funzione in valore assoluto con un punto angoloso in x=e
- con un eventuale studio della derivata seconda (sempre della funzione senza valore assoluto) si troverà, come si vede dal grafico allegato, un punto di cambio concavità-convessità (punto di flesso) in x=1 ed anche in x=e^2 (più avanti nel grafico); mentre il punto x=e di intercetta con l'asse x, per quanto detto prima con l'introduzione del valore assoluto e il ribaltamento del grafico, diventa anche un punto angoloso (e quindi di non derivabilità).
Ciao
PS: Abbiamo archiviato la funzione nel nostro database e in futuro, alla prossima revisione della relativa sezione di argomento, verrà prodotto il relativo video-tutorials di studio completo.
da shabila08 » 19/01/2013, 22:40 
