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salve...
ho urgente bisogno di sapere come si risolve questa funzione:
\[\left | 1-ln^3x \right |\]
sono confusa per il DOMINIO, segno, insomma mi sta mettendo in pallone questa funzione

il vs aiuto sarebbe ideale... vi ringrazio in anticipo!
il sito e' fantastico! se sapevo prima....

\[\left| {1 - {{\ln }^3}(x)} \right|\]
ho cercato di usare eq.editor ma non mi ha postato in modo corretto comunque e' tutto in valore assoluto

Ciao,
\[f(x) = \left| {1 - {{\ln }^3}(x)} \right|\]
- il dominio della funzione è semplicemente il campo di esistenza del logaritmo quindi x>0

- il segno della funzione, dove esiste, trattandosi di una esppressione racchiusa in valore assoluto sarà complessivamente un oggetto mai negativo quindi positivo o nullo; si annulla quando si annulla il contenuto del valore assoluto cioè quando
\[1 - {\ln ^3}(x) = 0 \to {\ln ^3}(x) = 1 \to \ln (x) = \sqrt[3]{1} \to \ln (x) = 1 \to x = {e^1} \to x = e\] dove x=e sarà quindi l'intercetta con l'asse x

- per le altre fasi dello studio è sufficiente e più comodo studiare prima la funzione senza valore assoluto cioè
\[f(x) = 1 - {\ln ^3}(x)\]
- quindi studiamo il segno di \[1 - {\ln ^3}(x)\]
\[1 - {\ln ^3}(x) \ge 0 \to {\ln ^3}(x) \le 1 \to \ln (x) \le 1 \to x \le e\]
la funzione è positiva per x<e (ma sempre con x>0) e negativa per x>e

- poi basta procedere con i limiti per la ricerca di eventuali asintoti verticali (x tendente a 0+ la y tende a +infinito, asintoto verticale) e poi limite per x tendente a +infinito la y tende a -infinito (tutto solo dalla parte dove esiste la funzione cioè x>0)

- con la derivata si trovano eventuali max e minimi: ne risulta una derivata sempre negativa per tutto il dominio x>0
\[f'(x) = - \frac{3}{x}{\ln ^2}(x)\]
pertanto non ci sono max e minimi e la funzione è strettamente decrescente in tutto il dominio x>0

- a questo punto disegnato il grafico della funzione senza valore assoluto basta ribaltare rispetto all'asse x le parti del grafico negative per renderle positive e si ottiene il grafico della funzione in valore assoluto con un punto angoloso in x=e

- con un eventuale studio della derivata seconda (sempre della funzione senza valore assoluto) si troverà, come si vede dal grafico allegato, un punto di cambio concavità-convessità (punto di flesso) in x=1 ed anche in x=e^2 (più avanti nel grafico); mentre il punto x=e di intercetta con l'asse x, per quanto detto prima con l'introduzione del valore assoluto e il ribaltamento del grafico, diventa anche un punto angoloso (e quindi di non derivabilità).

Ciao

PS: Abbiamo archiviato la funzione nel nostro database e in futuro, alla prossima revisione della relativa sezione di argomento, verrà prodotto il relativo video-tutorials di studio completo.

grazie mille, mi ha tolto tanti dubbi!


questo sito e' fantastico!!!!!!!!!!!!!!!!!!! grandi

Salve avrei un dubbio riguardo lo svolgimento.

Un simile modo di svolgere lo studio di funzione (cioè ignorare il valore assoluto per poi considerarlo solo alla fine quando si disegna il grafico) è gradito ai professori in un esame? O si preferiscono altri metodi meno "comodi"?

O il tutto dipende dalla bontà del professore?

Grazie

Lo studio di una funzione, quando la sua espressione è tutta racchiusa in valore assoluto, è consentito farlo nel modo suddetto! ... anzi di solito ci sono esercizi d'esame che richiedono proprio di disegnare prima una certa funzione f(x) e poi disegnare le varianti \[\left| {f(x)} \right|;f( - x); - f(x);f(\left| x \right|);f(x - 1)....\] ecc... con le cosiddette regole dei grafici deducibili (valore assoluto, traslazione x, traslazione y, ecc...).

Nel caso della funzione sopra infatti l'unica richiesta particolare potrebbe essere l'analisi accurata del punto angoloso di non derivabilità generato dal valore assoluto con il calcolo delle pendenze destra-sinistra del punto angoloso stesso, in pratica lo studio della derivabilità a cavallo del punto di separazione del valore assoluto.
In tal caso basta aprire il valore assoluto nei due casi a cavallo del punto x=e scrivendo la funzione "per casi" (o "a tratti") e poi studiare la derivabilità destra-sinistra nel punto x=e per trovare quindi le caratteristiche del punto angoloso.

Ciao

Ah, giustamente è fattibile quando la funzione è tutta racchiusa dentro valore assoluto. Ha senso

Riguardo l'aprire il valore assoluto e studiare la derivabilità sul punto... beh ci sono perché ho visto abbastanza video-tutorial

Grazie!