Per studiare il segno della funzione
\[f(x) = \left( {2 - {e^x} + 2\sqrt {\left| {{e^x} - 1} \right|} } \right)\;\ln \left| {\frac{2}{\pi }arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right|\]
occorre studiare i segni dei singoli fattori separatamente e poi fare lo schema di segno finale del prodotto.
Per studiare il segno del 1° fattore occorre porsi una domanda di segno impostando una disequazione irrazionale
\[2 - {e^x} + 2\sqrt {\left| {{e^x} - 1} \right|} \ge 0\]
dove ponendo ${e^x} = t$ ci si riconduce dapprima ad una disequazione irrazionale in forma canonica nella variabile t, da risolvere con le tecniche specifiche di questo tipo di disequazioni (caso del maggiore con 2 sistemi)
\[2 - t + 2\sqrt {\left| {t - 1} \right|} > 0\;\;\; \to \;\;\;\sqrt {\left| {t - 1} \right|} > \frac{{t - 2}}{2}\]
\[(1)\left\{ \begin{array}{l}
\left| {t - 1} \right| \ge 0\\
\frac{{t - 2}}{2} < 0
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\; \cup \;\;\;\;(2)\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{t - 2}}{2} \ge 0\\
\left| {t - 1} \right| \ge {(\frac{{t - 2}}{2})^2}
\end{array} \right.\]
successivamente occorre riportare le soluzioni nella variabile x per tracciare lo schema del segno del fattore.
Per lo studio del segno del 2° fattore occorre impostare una disequazione logaritmica risolta la quale si ottiene poi una disequazione goniometrica con arcoseno
\[\ln (\left| {\frac{2}{\pi }arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right|) \ge 0\]
\[\ln (\left| {\frac{2}{\pi }arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right|) \ge \ln (1)\]
\[\left| {\frac{2}{\pi }arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right| \ge 1\;\;\; \to \;\;\;\left| {arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right| \ge \frac{\pi }{2}\]
dove
\[\left| {arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right| > \frac{\pi }{2}\;\;\; \to \;\;\;\not \exists x \in R\]
\[\left| {arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right| = \frac{\pi }{2}\;\;\; \to \;\;\;\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right| = 1\]
quindi ne risulterà
\[\ln (\left| {\frac{2}{\pi }arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right|) < 0\;\;\;\;\;\forall x \in R,\;\;\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right| < 1,\;\;x \ne 1\]
E' inutile dire che lo svolgimento delle suddette disequazioni presuppone una conoscenza "perfetta" di tutte le tecniche di studio dei suddetti tipi di disequazioni studiate (si spera) nei corsi delle superiori, oltre ad un'ottima conoscenza delle funzioni goniometriche inverse e i relativi domini di esistenza!!
Senza tali conoscenze fondamentali non c'è modo di affrontare questo tipo di esercizi di studio di segno di funzioni con questa difficoltà !!
Saluti.
