Studiare dominio e il segno della funzione con logaritmo e arcotangente

[asiatruma]

salve avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:


Studiare l'insieme di definizione ed il segno della funzione definita da:


$f(x)= \left ( log\left ( e^{2x}-4e^{x} +4\right )-x \right )\left ( arctan\left ( x^{3}+x-sin\, x \right )-\pi \right )$

grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao, \[f(x) = (\ln ({e^{2x}} - 4{e^x} + 4) - x)\;(arctg({x^3} + x - sen(x)) - \pi )\]
mi limiterò a indicarti i passi fondamentali e le disequazioni da studiare.

Dominio
Il campo di esistenza della funzione sarà solo quello del logaritmo dato che per l'arcotangente non ci sono problemi campo di esistenza
\[C.E.\;\;:\;\;{e^{2x}} - 4{e^x} + 4 > 0\]
per questo tipo di disequazioni esponenziali il sito è stracolmo di video-tutorials di esercizi e di relativa teoria !! ... Lascio dunque a te lo svolgimento!

Studio del segno
Per lo studio del segno del fattore con il logaritmo occorre impostare la domanda di segno
\[\begin{array}{l}
\ln ({e^{2x}} - 4{e^x} + 4) - x \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\ln ({e^{2x}} - 4{e^x} + 4) \ge x\;\;\; \to \\
\to \;\;\;{e^{2x}} - 4{e^x} + 4 \ge {e^x}\;\;\; \to \;\;\;{e^{2x}} - 3{e^x} + 4 \ge 0
\end{array}\]
dove lo svolgimento dell'ultima disequazione lo lascio a te rimandandoti ancora ai video-tutorials!

Per lo studio del segno del fattore con l'arcotangente non ci sono particolari problemi ricordando che per definizione di arcotangente nel suo dominio di invertibilità della relativa funzione inversa tangente sarà sempre
\[ - \frac{\pi }{2} < arctg(\alpha ) < \frac{\pi }{2}\]
pertanto alla domanda di segno
\[arctg({x^3} + x - sen(x)) - \pi \ge 0\]
la risposta sarà banalmente
\[arctg({x^3} + x - sen(x)) - \pi < 0\;\;\;\forall x \in R\]

Mettendo insieme a prodotto tutte le suddette informazioni di segno avrai dunque il segno globale della funzione.


Saluti.

[asiatruma]

Allora abbiamo:

Dominio

$C.E. e^{2x}-4e^{x}+4> 0$ $\rightarrow $

sostituisco $e^{x}=t$ e ottengo:

$y^{x}-4y+4> 0 \rightarrow \: y\neq 2$

quindi

$e^{x}\neq 2\rightarrow \: x\neq ln 2 $


Pertanto l'insieme di definizione risulta essere:

$E=\left \{\forall \, x \in \mathbb{R}, con\, \, x\neq ln 2 \right \} $


Studio del segno

Per lo studio del segno del fattore con il logaritmo occorre impostare:
$\begin{array}{l} \ln ({e^{2x}} - 4{e^x} + 4) - x \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\ln ({e^{2x}} - 4{e^x} + 4) \ge x\;\;\; \to \\ \to \;\;\;{e^{2x}} - 4{e^x} + 4 \ge {e^x}\;\;\; \to \;\;\;{e^{2x}} - 5{e^x} + 4 \ge 0 \end{array} $

ovvero

$e^{2x} - 5{e^x} + 4 \ge 0 $

da cui col metodo di sostituzione ottengo che:

$x\leq 0\, \, \vee x\geq ln 4$

Per la seconda disequazione:

$arctg({x^3} + x - sen(x)) - \pi \ge 0\rightarrow arctg({x^3} + x - sen(x)) \ge \pi $

è impossibile ed è verificata

$\forall \, x \in \mathbb{R}$

se ${x^3} + x - sen(x)$

Quindi utilizzando il grafico in figura abbiamo:

[EDIT Admin] Eliminazione link a immagine esterna (it.tinypic.com/r/2vv4z7k/8) e riformulazione con codice LaTex
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\;0\;\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\ln (2)\_\_\_\_\_\_\_\ln (4)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ > x}\\
{ + + + + + X - - - - - - O - - - - - X + + + + + + + + + + }\\
{ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + }\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \;\;\;\;\;\;\;\;\;\not \exists \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + }
\end{array}\]

ovvero la funzione risulta positiva nel dominio per

$x\leq 0$


è corretto??
fammi sapere.
grazie..

[maurizio.schirinzi]

NO !! ... Lo studio del segno del secondo fattore è sbagliato! ...

Non essendo verificata per nessun valore di x la disequazione della domanda di segno che abbiamo posto cioè
\[arctg({x^3} + x - sen(x)) - \pi \ge 0\]
ne segue che sarà vero che
\[arctg({x^3} + x - sen(x)) - \pi < 0\;\;\;\forall x \in R\]
pertanto lo schema di segno corretto della funzione sarà i seguente
\[\begin{array}{l}
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\;0\;\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\ln (2)\_\_\_\_\_\_\_\ln (4)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ > x\\
+ + + + + X - - - - - - O - - - - - X + + + + + + + + + + \\
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\not \exists\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -
\end{array}\]
Fai attenzione agli studi dei segni e alle domande di segno che ti poni. Lo studio del segno è una delle classiche problematiche che generano molte confusioni negli studenti a causa delle "disastrose" tecniche didattiche di molti insegnanti delle scuole superiori! ...
Speriamo in futuro di fare chiarezza definitivamente su queste cose! ... e nel frattempo ti consiglio di guardare gli esercizi sui tanti argomenti disponibili negli attuali video-tutorials dove potrai avere sicuramente una idea più chiara di come vanno fatti gli studi dei segni.


Saluti.

[asiatruma]

ah già è vero...
quindi la funzione risulta positiva nel dominio per

$0\leq x\leq ln 4,\, con\, x\neq ln 2$


è giusto?
fammi sapere.
grazie

[maurizio.schirinzi]

Si, è giusto !!

[asiatruma]

ok grazie