Ciao,
\[f(x) = {e^{ - x}}\sqrt {\left| {x - 1} \right|} \]
Studiamo la funzione seguendo i soliti passi fondamentali:
1) Dominio e analisi dei punti singolari e/o discontinuità :
\[{D_f} = R\]
Punti singolari o discontinuità : Nessuno
2) Studio del segno e intersezione con gli assi
\[\left[ \begin{array}{l}
f(x) > 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x \in R - \{ 1\} \\
f(x) = 0\;\;\; \to \;\;\;x = 1\\
f(x) < 0\;\;\; \to \;\;\;\not \exists \,x \in R
\end{array} \right.\]
3) Parità / Disparità : Nessuna
4) Asintoti
Asintoti Verticali : Nessuno
Asintoti Orizzontali (limiti all'infinito) :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {e^{ - x}}\sqrt {\left| {x - 1} \right|} = + \infty \,\sqrt { + \infty } = + \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{ - x}}\sqrt {\left| {x - 1} \right|} = [0 \cdot \infty ]\]
calcoliamo il limite in forma indeterminata
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{ - x}}\sqrt {\left| {x - 1} \right|} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {\left| {x - 1} \right|} }}{{{e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{{e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {x(1 - \frac{1}{x})} }}{{{e^x}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}{{{e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^{1/2}}}}{{{e^x}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - \frac{1}{x}} = 0 \cdot 1 = 0\]
dunque abbiamo
\[{\rm{Asintoto}}\;{\rm{Orizzontale}}\;{\rm{:}}\;y = 0\;\;(x \to + \infty )\]
Asintoti Obliqui : Nessuno
\[m = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{e^{ - x}}\sqrt {\left| {x - 1} \right|} }}{x} = \frac{0}{{ - \infty }} = 0\]
5) Studio derivata prima (monotonia e max-min relativi) :
disaccoppiamo la funzione per casi aprendo il valore assoluto
\[f(x) = {e^{ - x}}\sqrt {\left| {x - 1} \right|} = \left\{ \begin{array}{l}
{e^{ - x}}\sqrt { - x + 1} \;\;\;\;\;\;\;x \le 1\\
{e^{ - x}}\sqrt {x - 1} \;\;\;\;\;\;\;\;x > 1
\end{array} \right.\]
calcoliamo la derivata nelle rispettive zone escluso il punto sospetto di derivabilità (x=1)
\[\left\{ \begin{array}{l}
x < 1\;\;\; \to \;\;\;f'(x) = {e^{ - x}}( - 1)\sqrt { - x + 1} + {e^{ - x}}\frac{1}{{2\sqrt { - x + 1} }}( - 1) = ... = {e^{ - x}}[\frac{{2x - 3}}{{2\sqrt { - x + 1} }}]\\
x > 1\;\;\; \to \;\;\;f'(x) = {e^{ - x}}( - 1)\sqrt {x - 1} + {e^{ - x}}\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} = ... = {e^{ - x}}[\frac{{ - 2x + 3}}{{2\sqrt {x - 1} }}]\\
x = 1\;\;\; \to \;\;\;f'(1) = ?
\end{array} \right.\]
studiamo la derivabilità nel punto sospetto x=1 con il criterio di sufficiente derivabilità
\[{f_ - }'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {e^{ - x}}[\frac{{2x - 3}}{{2\sqrt { - x + 1} }}] = {e^{ - 1}}\frac{{ - 1}}{{2\sqrt {{0^ + }} }} = - \infty \]
\[{f_ + }'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {e^{ - x}}[\frac{{ - 2x + 3}}{{2\sqrt {x - 1} }}] = {e^{ - 1}}\frac{1}{{2\sqrt {{0^ + }} }} = + \infty \]
dunque
\[f'(1) = \not \exists \]
e il punto x=1 è un punto cuspide!
Lo studio del segno della derivata prima porta ad individuare un punto di max relativo in x=3/2
6) Studio delle curvature (concavità/convessità e flessi) : lascio a te lo studio della derivata seconda!
Il grafico finale sarà il seguente in allegato.
Saluti.
