\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \left( { - \sqrt {\frac{3}{2}\pi - 1} } \right)} \ln (ctg(1 + {x^2}))\]
dunque prima di tutto facciamo una considerazione sulle tendenze destre/sinistre per i numeri negativi e soprattutto con i radicali (cosa che purtroppo a scuola non si degnano mai di piegare per bene!); sappiamo che ad esempio:
\[\begin{array}{l}
- {5^ + } \approx - 4,9\\
- {5^ - } \approx - 5,1
\end{array}\]
e analogamente con le radici, facendo attenzione al passaggio dal valore del radicando rispetto a quello del calcolo della radice, si avrà
\[\begin{array}{l}
{( - \sqrt 5 )^ + } \approx {( - 2,236)^ + } \approx - 2,226 = - \sqrt {4,955} = - \sqrt {{5^ - }} \\
{( - \sqrt 5 )^ - } \approx {( - 2,236)^ - } \approx - 2,246 = - \sqrt {5,044} = - \sqrt {{5^ + }}
\end{array}\]
pertanto anche elevando al quadrato possiamo scrivere
\[\begin{array}{l}
{({( - \sqrt 5 )^ + })^2} = {( - \sqrt {{5^ - }} )^2} = {5^ - }\\
{({( - \sqrt 5 )^ - })^2} = {( - \sqrt {{5^ + }} )^2} = {5^ + }
\end{array}\]
detto questo ora consideriamo la quantità a cui deve tendere la x nel nostro limite; sulla base delle suddette considerazioni possiamo scrivere:
\[\begin{array}{l}
{\left( { - \sqrt {\frac{3}{2}\pi - 1} } \right)^ + } = - \sqrt {\frac{3}{2}{\pi ^ - } - 1} \\
{\left( { - \sqrt {\frac{3}{2}\pi - 1} } \right)^ - } = - \sqrt {\frac{3}{2}{\pi ^ + } - 1}
\end{array}\]
dunque il calcolo del limite destro e sinistro sarà:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \sqrt {\frac{3}{2}\pi - 1} } \right)}^ + }} \ln (ctg(1 + {x^2})) = \ln (ctg(1 + {( - \sqrt {\frac{3}{2}{\pi ^ - } - 1} )^2})) = \]
\[ = \ln (ctg(1 + \frac{3}{2}{\pi ^ - } - 1)) = \ln (ctg(\frac{3}{2}{\pi ^ - })) = \ln ({0^ + }) = - \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \sqrt {\frac{3}{2}\pi - 1} } \right)}^ - }} \ln (ctg(1 + {x^2})) = \ln (ctg(1 + {( - \sqrt {\frac{3}{2}{\pi ^ + } - 1} )^2})) = \]
\[ = \ln (ctg(1 + \frac{3}{2}{\pi ^ + } - 1)) = \ln (ctg(\frac{3}{2}{\pi ^ + })) = \ln ({0^ - }) = \not \exists \]
stessi calcoli e stesse considerazioni per tutti gli altri punti singolari ...
Saluti.
