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salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:

si studi il segno della funzione f(x):


$f(x)=\left ( 2-e^{x}+2\sqrt{\left | e^{x} -1\right |} \right )\cdot log\left | \frac{2}{\pi } arcsin\frac{x}{x-1}\right |$



ho provato a studiare il segno applicando la legge di annullamento del prodotto e ottengo due disequazioni che però non riesco a risolvere..

$\left ( 2-e^{x}+2\sqrt{\left | e^{x} -1\right |} \right )>0$

e

$log\left | \frac{2}{\pi } arcsin\frac{x}{x-1}\right | > 0$


se mi potete dare una mano...
sto impazzendo non riesco a capire come risolverle..
spero che mi aiutate è urgente...
grazie..

Ciao e benvenuto nel Forum di EasyMath ITALIA !! ...

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Uso di Equation Editor per la scrittura delle formule matematiche

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Grazie.

Per studiare il segno della funzione
\[f(x) = \left( {2 - {e^x} + 2\sqrt {\left| {{e^x} - 1} \right|} } \right)\;\ln \left| {\frac{2}{\pi }arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right|\]
occorre studiare i segni dei singoli fattori separatamente e poi fare lo schema di segno finale del prodotto.

Per studiare il segno del 1° fattore occorre porsi una domanda di segno impostando una disequazione irrazionale
\[2 - {e^x} + 2\sqrt {\left| {{e^x} - 1} \right|} \ge 0\]
dove ponendo ${e^x} = t$ ci si riconduce dapprima ad una disequazione irrazionale in forma canonica nella variabile t, da risolvere con le tecniche specifiche di questo tipo di disequazioni (caso del maggiore con 2 sistemi)
\[2 - t + 2\sqrt {\left| {t - 1} \right|} > 0\;\;\; \to \;\;\;\sqrt {\left| {t - 1} \right|} > \frac{{t - 2}}{2}\]
\[(1)\left\{ \begin{array}{l}
\left| {t - 1} \right| \ge 0\\
\frac{{t - 2}}{2} < 0
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\; \cup \;\;\;\;(2)\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{t - 2}}{2} \ge 0\\
\left| {t - 1} \right| \ge {(\frac{{t - 2}}{2})^2}
\end{array} \right.\]
successivamente occorre riportare le soluzioni nella variabile x per tracciare lo schema del segno del fattore.

Per lo studio del segno del 2° fattore occorre impostare una disequazione logaritmica risolta la quale si ottiene poi una disequazione goniometrica con arcoseno
\[\ln (\left| {\frac{2}{\pi }arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right|) \ge 0\]
\[\ln (\left| {\frac{2}{\pi }arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right|) \ge \ln (1)\]
\[\left| {\frac{2}{\pi }arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right| \ge 1\;\;\; \to \;\;\;\left| {arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right| \ge \frac{\pi }{2}\]
dove
\[\left| {arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right| > \frac{\pi }{2}\;\;\; \to \;\;\;\not \exists x \in R\]
\[\left| {arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right| = \frac{\pi }{2}\;\;\; \to \;\;\;\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right| = 1\]
quindi ne risulterà
\[\ln (\left| {\frac{2}{\pi }arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right|) < 0\;\;\;\;\;\forall x \in R,\;\;\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right| < 1,\;\;x \ne 1\]

E' inutile dire che lo svolgimento delle suddette disequazioni presuppone una conoscenza "perfetta" di tutte le tecniche di studio dei suddetti tipi di disequazioni studiate (si spera) nei corsi delle superiori, oltre ad un'ottima conoscenza delle funzioni goniometriche inverse e i relativi domini di esistenza!!

Senza tali conoscenze fondamentali non c'è modo di affrontare questo tipo di esercizi di studio di segno di funzioni con questa difficoltà !!

Saluti.

Allora per il primo fattore abbiamo la risoluzioni di due sistemi:
$\begin{cases}
\left | e^{x}-1 \right |\geq 0 \\
\frac{e^x-2}{2}<0 \\

\end{cases}$
e

$\begin{cases}
\frac{e^x-2}{2}\geq0\\
\left | e^{x}-1 \right |\geq (\frac{e^x-2}{2})^2 \\

\end{cases}$

Sistema I:

la prima è sempre verificata, la seconda equivale a $e^x<2$ cioè $x < ln2$

Sistema II:
La prima disequazione si risolve in modo analogo a quella precedente,ovvero $e^x>2$ cioè $x > ln2$,
mentre per risolvere la seconda bisogna valutare i due casi:

$e^x-1 \geq (\frac{e^x-2}{2})^2 \\
e^x-1 \leq -(\frac{e^x-2}{2})^2 \\$

da cui otterrò:
$\log(4-2\sqrt{2})\le x\le \log(4+2\sqrt{2})$

soluzione del primo fattore...

il secondo fattore come hai detto $not \exists x \in R$,
quindi essendo il dominio:

$D:\left \{ x\in\mathbb{R}:x\leq \frac{1}{2} \right \}$

la funzione nel suo domini risulta sempre negativa...

è giusto???
fatemi sapere se c'è qualche errore...
spero che mi aiutate..
grazie..

Si !! ... adesso devi fare lo schema del segno per i due fattori insieme e, dopo aver fatto il prodotto dei segni, potrai dedurre il segno finale della funzione.

Inoltre riportando anche i punti di annullamento dei fattori (le soluzioni della parte "equativa" delle suddette disequazioni) otterrai anche i punti di intersezione con l'asse x.

Saluti.

Ok.svolgendo il grafico segno si vede
che la funzione risulta essere
NEGATIVA nel suo dominio...
È corretto????
Fammi sapere se è giusto...
Se non lo è dimmi cosa c'è che non va...
Grazie....

Si !! ... la funzione
\[f(x) = \left( {2 - {e^x} + 2\sqrt {\left| {{e^x} - 1} \right|} } \right)\;\ln \left| {\frac{2}{\pi }arcsin(\frac{x}{{x - 1}})} \right|\]
è negativa ad eccezione del punto di annullamento in x=1/2 che si ricava risolvendo l'equazione
\[\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right| = 1\]
nel'immagine allegata il grafico della funzione che conferma quanto detto sul segno!


Saluti.