Calcolo derivata con valori assoluti mediante l'uso della funzione segno

[M1CH3L3]

Buonasera prof. il mio problema è questo: non riesco a derivare bene questa funzione con il valore assoluto al denominatore della quale poi dovrò fare lo studio della monotonia. Ecco la funzione:\[\arctan \left ( -1\div \mid x^2-1\mid \right )\]

[maurizio.schirinzi]

Ciao, con le funzioni con valore assoluto, per poter derivare con le normali regole di derivazione, occorre prima di tutto aprire tutti i valori assoluti disaccoppiando i casi in una funzione definita per casi (o a tratti). Si studiano quindi i punti sospetti di separazione dei casi, che nel tuo caso sono semplicemente i punti fuori dominio, e si procede quindi al calcolo delle derivate (nelle rispettive zone delle x per i singoli casi) con le normali regole di derivazione. Pertanto nel tuo caso si ha:
\[f(x) = arctg(\frac{{ - 1}}{{\left| {{x^2} - 1} \right|}}) = \left\{ \begin{array}{l}
arctg(\frac{{ - 1}}{{{x^2} - 1}})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < - 1\;\; \vee \;\;x > 1\\
arctg(\frac{1}{{{x^2} - 1}})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - 1 < x < 1
\end{array} \right.\]
\[{D_f} = R - \{ - 1,1\} \]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x < - 1\;\; \vee \;\;x > 1\;\;\; \to \;\;\;f'(x) = \frac{1}{{{{(\frac{{ - 1}}{{{x^2} - 1}})}^2} + 1}}(\frac{{2x}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}) = \frac{1}{{\frac{{1 + {{({x^2} - 1)}^2}}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}}}\frac{{2x}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}} = \frac{{2x}}{{1 + {{({x^2} - 1)}^2}}}\\
- 1 < x < 1\;\;\; \to \;\;\;f'(x) = \frac{1}{{{{(\frac{1}{{{x^2} - 1}})}^2} + 1}}( - \frac{{2x}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}) = \frac{1}{{\frac{{1 + {{({x^2} - 1)}^2}}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}}}\frac{{ - 2x}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}} = \frac{{ - 2x}}{{1 + {{({x^2} - 1)}^2}}}
\end{array} \right.\]
da cui in definitiva la derivata a tratti sarà:
\[f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2x}}{{1 + {{({x^2} - 1)}^2}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < - 1\;\; \vee \;\;x > 1\\
\frac{{ - 2x}}{{1 + {{({x^2} - 1)}^2}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - 1 < x < 1
\end{array} \right.\]
A questo punto si studia il segno delle derivate nelle rispettive zone delle x, si uniscono poi tutte le informazioni di segno in un unico schema finale, da cui si estraggono quindi tutte le informazioni di crescenza/decrescenza e max/min relativi.
Saluti.

[M1CH3L3]

Ho capito grazie professore però adesso mi sta venendo un dubbio dato che il professore che mi ha fatto vedere lo studio della monotonia (all' università) ha utilizzato il seguente svolgimento. Le spiego: quando c'è il valore assoluto oltre che a moltiplicare il tutto per la funzione sgn(x) e quindi a cambiare il segno della derivata prima, cambiava il segno anche dei termini all'interno del valore assoluto. Per esempio, in questo caso dove la funzione derivata, in particolare il prodotto della derivata prima per la funz. sgn(x) lascia il segno invariato il valore assoluto è lo stesso cioè : $\mid {x^2} - 1\mid per\;x < - 1\; \vee \;x > 1\;\;\;\; \to \;\;\;{x^2} - 1$.
Mentre quando mi cambia il segno della derivata prima mi toglie il valore assoluto e mi cambia i segni all'interno del valore assoluto:$\mid {x^2} - 1\mid \;per\; - 1 < x < 1\;\;\;\; \to \;\;\;1 - {x^2}$.
Secondo lei è giusto?? Lo so che questa è in generale la regola del valore assoluto per una generica x<0 ma in questo caso vale lo stesso? Non basta cambiare il segno della derivata prima moltiplicando il tutto per -1 ?? Grazie spero di essermi spiegato discretamente

[maurizio.schirinzi]

Ciao, la tua descrizione è molto confusa (oltre che formattata male con l'equation editor)! ... ma non ti preoccupare... la confusione non è colpa tua ma si tratta della solita cosa banale che la maggior parte dei professori universitari non riescono, nonostante le loro fantastiche "elucubrazioni mentali universitarie", a spiegare decentemente ai comuni studenti mortali !!

Vediamo dunque di fare un po di chiarezza definitiva (in attesa del relativo video-tutorial di teoria) su questa questione della funzione segno utilizzata soprattutto nelle operazioni di derivazione con presenza di valori assoluti ...

Prima di tutto ricordiamo la definizione di funzione segno:
\[sgn(x) = \left\{ \begin{array}{l}
- 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < 0\\
0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 0\\
+ 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x > 0
\end{array} \right.\]
Valgono inoltre le seguenti proprietà ovvie che derivano direttamente dalla definizione:
\[x = sgn(x)\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}
- \left| x \right|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < 0\\
0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 0\\
+ \left| x \right|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x > 0
\end{array} \right.\] Esempio: \[\begin{array}{l}
3 = {\mathop{\rm sgn}} (3)\left| 3 \right| = + 1 \cdot 3 = 3\\
- 3 = {\mathop{\rm sgn}} ( - 3)\left| { - 3} \right| = - 1 \cdot 3 = - 3
\end{array}\]
ed inoltre
\[\left| x \right| = {\mathop{\rm sgn}} (x)\;x = \left\{ \begin{array}{l}
- x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < 0\\
0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 0\\
+ x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x > 0
\end{array} \right.\] Esempio: \[\begin{array}{l}
\left| 3 \right| = {\mathop{\rm sgn}} (3)\;3 = + 1 \cdot 3 = 3\\
\left| { - 3} \right| = {\mathop{\rm sgn}} ( - 3)\;( - 3) = - 1 \cdot ( - 3) = 3
\end{array}\]
Ora poichè la funzione segno, per come è definita, si comporta sempre come una costante (vale +1 o -1) è ovvio che è derivabile per tutti gli x tranne zero (punto di separazione e quindi di non derivabilià) e la sua derivata vale sempre zero. Essendo dunque una funzione costante si comporta nelle operazioni di derivazione come tale e quindi quando è a prodotto con una funzione rispetta la regola della derivata del prodotto costante per funzione e quando è da sola la sua derivata fa ovviamente zero!!

Detto questo proviamo ora a calcolare la derivata della seguente funzione tenendo presente quanto appena detto e le suddette proprietà fondamentali:
\[\begin{array}{l}
D\,[\left| {{x^2} - 1} \right|] = D\,[{\mathop{\rm sgn}} ({x^2} - 1) \cdot ({x^2} - 1)] = {\mathop{\rm sgn}} ({x^2} - 1)\;D\,[{x^2} - 1] = \\
= {\mathop{\rm sgn}} ({x^2} - 1)\;2x = \left\{ \begin{array}{l}
2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < - 1\; \vee \;x > 1\\
- 2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - 1 < x < 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
Ecco quindi spiegato il perchè di tutti quei "misteriosi" e "incomprensibili" passaggi con la funzione segno fatti a lezione dai prof universitari, che tendono troppo spesso a "spettacolarizzare" le loro lezioni piuttosto che fare vera didattica passo-passo per far capire veramente la matematica agli studenti !!

Comunque personalmente preferisco non usare la funzione segno perchè ritengo che sia didatticamente e praticamente poco utile per lo studente nello studio delle funzioni con valore assoluto, dove occorre comunque separare sempre i casi e studiare la derivabilità nei punti sospetti di apertura dei valori assoluti, piuttosto che calcolare meccanicamente una derivata che poi alla fine va comunque sempre "aperta" nei suoi casi per lo studio del segno e soprattutto della derivabilità nei punti di separazione!

Saluti.

PS: Essendo questo topic sul calcolo delle derivate con la funzione segno lo User Admin provvederà a spostare l'argomento nella sezione più appropriata del forum e modificando il titolo in "Calcolo derivata con valori assoluti mediante l'uso della funzione segno" al fine di essere correttamente indicizzata dai motori di ricerca.

[M1CH3L3]

Prof. grazie adesso ho capito la questione (praticamente facendo i calcoli è la stessa cosa, è solo una questione "estetica"). Grazie per il suo utile supporto. Buona giornata!