Insiemi Compatti

[ascaplboh]

Ciao! Innanzitutto mi scuso per la categoria che ho scelto in quanto non riguarda l'argomento che voglio chiederle, ma non riesco a trovare una sezione del forum che riguardi LIMTI,TOPOLOGIA,MAX E MIN IN R^n.


Volevo chiederle se può aiutarmi a capire come si dimostra che un insieme è compatto in R^n.
Ad esempio se ho i seguenti insiemi:

A=\[\left \{ x^{2} +y^{2}+z^{2}\leq 4, z\geq x+y\right \}\]
B=\[\left \{ x^{2}+y^{2}\leq z^{2} +1, -2\leq x+y-2z\leq 3\right \}\]



Vorrei capire come faccio a dimostrare che questi insiemi sono chiusi e limitati, ossia compatti. (Ciò mi serve per la risoluzione dei problemi di max e min)

Mi scuso ancora per la categoria sbagliata ma non sapevo dove postarla.

Saluti e grazie in anticipo

[maurizio.schirinzi]

Si tratta di insiemi di dominio nello spazio R^3. Le cose non sono facili come in R^2 !!

Nel caso del primo insieme A si può facilmente intuire che la prima disequazione rappresenta i punti interni di una sfera centrata nell'origine e raggio 2 (compresi i punti sulla sua superficie), mentre la seconda disequazione sono i punti dello spazio al di sopra (e su) di un piano passante per l'origine che interseca quindi la sfera definendo pertanto con la sfera una porzione di spazio limitata e chiusa, quindi un compatto.

Per il secondo insieme B la faccenda è un pò più difficile da immaginare senza introdurre strumenti molto più avanzati di studio che qui sarebbe troppo lungo da esporre!

Ma l'esercizio ti chiede di dimostrare specificamente tutto questo? ...
Di solito questo tipo di domande vengono poste per domini di R^2 (più semplici da gestire) piuttosto che di R^3!




NB: Il topic è stato spostato un una nuova categoria di Analisi 2 che racchiude tutti gli argomenti non ancora classificati dal relativo indice.

[ascaplboh]

No non mi chiede di dimostrarlo specificamente. Però ho visto che il mio prof nei problemi di max e min fa delle considerazioni per verificare se é compatto in modo da applicare weirstrass. A volte fa riferimento alle figure geometriche che questi insiemi rappresentano( e fin qua ci arrivo) ma altre volte(come per uno dei due esempi che ho riportato) usa delle diseguaglianzecon valori aassoluti (che non so cosa siano) per dimostrare se è un compatto.
E vorei capire in generale come fare per dimostrare che è un compatto

[maurizio.schirinzi]

Purtroppo non esiste un procedimento o teorema generale per dimostrare che si tratta di un compatto, ed è per quello che il tuo prof a volte, ove possibile, fa delle considerazioni o intuitive o sfruttando qualche trucchetto! ...
In R^3 le cose si complicano molto se non si hanno domini molto semplici da "immaginare" abbastanza facilmente.

Ad ogni modo tutto questo non preclude lo studio dei massimi e minimi con i soliti metodi dei massimi e minimi relativi nei punti interni del dominio, dove abbiamo la derivabilità, e poi con considerazioni a parte nei punti di confine del dominio, come si fa ad esempio nello studio delle funzioni di 2 variabili con la ricerca dei massimi e minimi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Tieni sempre presente che ci possono essere dei limiti anche con quei metodi, che funzionano perfettamente solo laddove tutti i procedimenti algebrici funzionano senza intoppi o complicazioni, come ad esempio laddove si possono risolvere facilmente i sistemi di equazioni del gradiente ecc...

A presto.

[ascaplboh]

Per l'insieme B il mio prof. scrive:

Il dominio e' chiuso, verifichiamo che e' anche limitato.
Per questo ricordiamo che vale \[\left | 2xy \right |\leq x^{2}+y^{2}\]
e che non si può immediatamente elevare al quadrato ambo i membri di una disequazione in cui compaiono
variabili. Per questo distinguiamo due casi.

Considerando z > 0 otteniamo

1)\[x^{2}+y^{2}\leq z^{2}+1\]
\[2z\leq x+y+2\rightarrow x^{2}+y^{2}\leq \left [( x+y+2 \right )^{2}/4] +1\]
mentre per z<0, e quindi per -z>0, otteniamo:

2)\[x^{2}+y^{2}\leq z^{2}+1\]
\[-2z\leq 3-x-y\rightarrow x^{2}+y^{2}\leq \left [( 3-x-y \right )^{2}/4]+1\]


Dopo di che svolge i calcoli e ottiene dalla prima:

1)\[\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}\leq 6\]



e dalla seconda:

2)\[\left ( x+\frac{3}{4}\right )^{2}+\left ( y+\frac{3}{4} \right )^{2}\leq \frac{11}{4}\]

e concludendo dicendo che x e y sono limitate e quindi anche z.


La funzione in considerazione è \[f\left ( x,y,z\right )=z\]

[maurizio.schirinzi]

La dimostrazione è interessante e come vedi si basa sempre su alcuni "trucchi" sfruttando le disuguaglianze e proprietà varie; appare evidente che non esiste un metodo generale, anche perché quei ragionamenti fatti nel caso di questo esercizio in un esercizio appena un po diverso potrebbero non funzionare affatto.

Tuttavia nella dimostrazione del tuo Prof. non mi risultano chiare un paio di cose:

1) Dove viene utilizzata la proprietà citata all'inizio della dimostrazione?
\[\left| {2xy} \right| \le {x^2} + {y^2}\]
2) Nella conclusione dice che poiché x e y risultano limitate allora lo sarà anche z !!

Mi sfugge forse qualcosa??

[ascaplboh]

Ho riportato "pari-pari" la sua spiegazione, saltando solamente qualche calcolo. Infatti io non ci ho capito proprio nulla di questa dimostrazione. Se vuole dopo posso postare la foto (senza scriverla tutta perché ci vuole tempo).