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Buonasera, ho alcuni dubbi teorici di Analisi II e, non sapendo dove postarli, li scrivo qui. In alcuni teoremi mi è capitato di trovare funzioni definite nel duale di R^n ... Che insieme è?

Cosa sono le funzioni di classe C^1, C^infinito?

Cos'è un insieme aperto e perché in alcuni teoremi trovo nelle ipotesi che la funzione è definita in un aperto? Gode di proprietá particolari forse un insieme aperto?

Qual'è la differenza tra estremi liberi e vincolati per funzioni di più variabili?

Inoltre, non mi è chiara la definizione di funzione di più variabili differenziabile in un punto x0 del dominio della funzione.

Ciao, riguardo alla prima domanda ti rimando ad una spiegazione dettagliatissima su Wikipedia, dove ti consiglio di guardare anche cosa sono i funzionali (NON le funzioni!) lineari: Spazio duale

Riguardo alle altre domande si ha:

1) Funzioni di Classe ${C^1}$ e ${C^\infty }$:
Come in Analisi 1 le funzioni di classe ${C^1}$ sono funzioni derivabili con derivata prima continua! ... e le funzioni di classe ${C^\infty }$
sono le funzioni derivabili infinite volte con derivata di ordine infinito (cioè di ordine qualsiasi) continua!

2) Insiemi Aperti:
Gli insiemi aperti in ${R^n}$ sono gli analoghi degli intervalli aperti in R di Analisi 1
A volte bisognava escludere gli estremi degli intervalli in alcuni teoremi perchè negli estremi di un intervallo la funzione potrebbe non essere derivabile (pensa a funzioni definite solo in un intervallo!) ... In ${R^n}$ valgono le stesse considerazioni nei bordi di un qualsiasi sottoinsieme di dominio.

3) Estremi Liberi e Vincolati
E' l'analogo di quello che si fa in Analisi 1 quando si cercano gli estremi (max e min) in tutto il dominio naturale della funzione (ad esempio su tutto R), oppure quando si cercano gli estremi (max e min) solo in un certo intervallo assegnato interno al dominio naturale della funzione che potrebbe essere anche più grande. Per funzioni di più variabili cercare i max e min vincolati vuol dire cercarli in relazione ad un vincolo di dominio specificato in genere con una curva (di cui viene data l'equazione, detta equazione del vincolo) o con un sottoinsieme del dominio naturale della funzione definito in qualche modo tramite equazioni e disequazioni di vincolo!

4) Funzione di più variabili differenziabile in un punto
Ti rimando anche in questo caso ad una spiegazione più dettagliata su Wikipedia: Funzione differenziabile

Saluti.

Cosa si intende per derivata continua in un certo punto x0?

Inoltre le chiedo un consiglio. Non riesco a memorizzare le ipotesi dei vari teoremi. In modo particolare, ho difficoltà nel ricordare in uno specifico teorema come devo prendere il dominio e l'immagine di una data funzione f coinvolta nel teorema stesso. Ad esempio, a volte il dominio è un aperto di R^n, a volte è un aperto connesso di R^n, a volte è un semplice intervallo (a,b). Che consigli potrebbe darmi in merito?

La derivata continua in un punto vuol dire che la funzione derivata prima è una funzione continua in quel punto!! ... come per le normali funzioni!!

Consigli su come studiare la matematica o come ricordare le varie cose?? ...

C'è un solo ed unico consiglio!! ... Chiedersi sempre il perchè delle varie cose, da dove hanno origine e perchè si sono inventate cosi!! ... la matematica non va studiata come le altre materie ... mandando giù a memoria formule e teoremi al solo fine di superare l'esame o affrontare il compito in classe "in qualche modo"!! ... questo è il metodo di studio più sbagliato che porta sempre alle difficoltà da te descritte!!

Saluti.