Dimostrazione della relazione tra derivabilità e continuità ed esempi

[piero87]

Ciao a tutti.
mi aiutate a rispondere a questa domanda?

Dimostrare che una funzione derivabile in un punto e ivi continua. Con un esempio dimostrare che non è vero il viceversa.

Vi ringrazio

[maurizio.schirinzi]

Ciao, sella sezione di Teoria del sito esiste il video-tutorials dettagliatissimo sulla relazione tra derivabilità e continuità nota come "Teorema della Continuità delle Funzioni Derivabili" completo di dimostrazione ed esempi e contro esempi:

Teorema della Continuità delle Funzioni Derivabili

Colgo inoltre l'occasione per segnalare che sono disponibili tutti i video-tutorials di Teoria sulle Derivate e Calcolo Differenziale per un totale di 50 video di Corso Completo di Argomento!! ...

Corso Completo di Argomento - Analisi 1 : Derivate e Calcolo Differenziale

Saluti.


PS: Questo topic sarà spostato dallo User Admin nella più appropriata categoria "Relazione tra Derivabilità e Continuità >> Teorema della Continuità delle F. Derivabili".

[piero87]

Grazie mille

[piero87]

ciao
Scusami ho visto il video tutorial. Mi sono chiarito un pò le idee.

Mi resta qualche dubbio.

Io ho capito quando una funzione è derivabile e quando è continua.

abbiamo detto che se una funzione è derivabile è anche continua.

Non sono sicuro su che risposta dare a una domanda che mette fisso il mio docente:
- Dimostrare che se una funzione è derivabile in un punto è anche continua.

Cosa dovrei scrivere?

la dimostrazione che c'è nel video?

\[f(x)-f(x0)+f(xo)= \frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}(x-xo) + f(x0)\]
quindi risolvendo come nel video ottengo f(x0)

basta scrivere questa dimostrazione? Se si si può scrivere tale dimostrazione scrivendo il limite del rapporto incrementale nella forma "canonica"
\[\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(xo+h)-f(x0)}{h}\]?

[maurizio.schirinzi]

La dimostrazione va fatta seguendo gli stessi passi del video-tutorials in quanto porta più comodamente al limite che definisce la continuità della funzione senza alcuna complicazione che si avrebbe usando il limite del rapporto incrementale con h!

Il limite del rapporto incrementale si può scrivere in 2 modi e alcuni libri di testo usano come definizione di derivata proprio quella del limite senza h.
\[\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = f'({x_0})\]
Il motivo per cui si usa molto h nel limite del rapporto incrementale è che h rappresenta una variabile che tende a zero che nelle tecniche di calcolo dei limiti è molto comoda. Per il resto il limite del rapporto incrementale si può tranquillamente scrivere per x-->x° invece che h-->0

Saluti.