Fattorizzare la matrice

[gloria]

salve,
nell'esercizio mi si richiede di fattorizzare la matrice
\[A=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &1 \\ 2 &2 \end{smallmatrix}\bigr)\]
in \[A=S\Lambda S^{-1}\]
con S intendo la matrice degli autovettori.

io ho calcolato gli autovalori che sono\[\lambda _1=0\]\[\lambda _2=3\]
e anche gli autovettori corrispondenti.
La matrice degli autovettori è \[s=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &1 \\ -1& 2 \end{smallmatrix}\bigr)\] e \[s^{-1}=\frac{1}{3}\bigl(\begin{smallmatrix} 2 &-1 \\ 1& 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
tuttavia quando il problema è \[\Lambda\] in quanto essa dovrebbe essere per definizione la matrice degli autovalori ma con lei A iniziale non mi torna.
Grazie x l'aiuto che mi darà

[maurizio.schirinzi]

Ciao, a me sembra venire !!
\[S\,\Lambda \,{S^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
{ - 1}&2
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}}&0\\
0&{{\lambda _2}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{2}{3}}&{ - \frac{1}{3}}\\
{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{3}}
\end{array}} \right) = \]
\[ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
{ - 1}&2
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0\\
0&3
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{2}{3}}&{ - \frac{1}{3}}\\
{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{3}}
\end{array}} \right) = \]
\[ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&3\\
0&6
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{2}{3}}&{ - \frac{1}{3}}\\
{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{3}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
2&2
\end{array}} \right) = A\]
Si noti che la matrice diagonale $\Lambda $ con gli autovalori deve avere gli autovalori disposti nello stesso ordine degli autovettori calcolati e disposti nella matrice S per colonne ... cioè ${\lambda _1} = 0$ se nella prima colonna della matrice S c'è l'autovettore ottenuto con quell'autovalore e ${\lambda _2} = 3$ se nella seconda colonna della matrice S c'è l'autovettore ottenuto con il secondo autovalore!!

Saluti.

[gloria]

ook, il mio problema allora era proprio come scrivevo $\Lambda$, ecco perchè non mi veniva. Grazie mille