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salve,
volevo sapere se ho svolto correttamente tale esercizio
\[A=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &0 &0 \\ 1 &0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\]
\[det(A-\lambda I)=\bigl(\begin{smallmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\ 1 &0-\lambda &0 \\ 1 &0 & 0-\lambda \end{smallmatrix}\bigr)\]
\[\lambda ^{2}(\lambda -1)=0\]
\[\lambda _1=0\]\[\lambda _2=0\]\[\lambda _3=1\].
Ponendo \[\lambda _1=0\] ottengo il sistema x+y+z=0 dove ho una sola variabile libera (Z),cosi impongo z=1 allora l'autovettore sarà
\[u_1=\bigl(\begin{smallmatrix} 0\\ -1\\ 1\end{smallmatrix}\bigr)\]
ponendo \[\lambda _2=0\] ottengo lo stesso sistema di prima ma ora pongo z=2 allora avrò
\[u_2=\bigl(\begin{smallmatrix} 0\\ -2\\ 2\end{smallmatrix}\bigr)\]
ponendo \[\lambda _3=1\] ottengo \[\left\{\begin{matrix} y &+z &=0 \\ x &-y & =0\\ x &-z &=0 \end{matrix}\right.\]
facendo el.Gaus mi sono ricondotta a \[\left\{\begin{matrix} & & \\ y &+z & =0\\ x &-y &=0 \end{matrix}\right.\]
ho z come variabile libera e la pongo uguale a 1 cosi ottengo \[u_3=\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\ -1\\ 1\end{smallmatrix}\bigr)\]

Ciao, direi che c'è un errore quando dici che x+y+z=0 ha 1 variabile libera !! ...

Essendo l'autovalore con molteplicità 2, i gradi di libertà in quel caso non dovrebbero essere 2 (ad esempio le variabili y e z)? ... d'altra parte la "automatrice" ha proprio rango 1!

Quindi l'autospazio sarà di dimensione 2 e generato da una base di 2 vettori ottenuti attibuendo 2 valori arbitrari diversi per y e per z.
Ad esempio per y=0 e z=1 ottieni x=-1 e poi per y=1 e z=0 ottieni x=-1 e quindi la base di autovettori (-1,0,1) e (-1,1,0) del sottospazio di dimensione 2.

Ecco un ottima dispensa di esercizi svolti di questo tipo:

Autovalori e Autovettori - Esercizi Svolti

Saluti.