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salve, volevo chiedere aiuto su tale sistema
\[\left\{\begin{matrix} 2x_1+3x_2+x_3-x_4=1
& & & \\ 6x_1+9x_2+3x_3-2x_4=2
& & &
\end{matrix}\right.\]
io ho fatto l'eliminazione di gauss sulla matrice allargata e ho ottenuto quindi \[\bigl(\begin{smallmatrix}
&2 &3 &1 & -1 & 1\\
& 0 & 0 & 0 & 1 & -1
\end{smallmatrix}\bigr)\]
a questo punto,dato che l'ultima riga della matrice non ha tuttti zeri, il sistema è impossibile giusto?
non so se ho capito bene, ho molti dubbi
grazie mille x l'aiuto che mi darà

Ciao, ... NO! ...

nel tuo caso se l'ultima riga della matrice "incompleta" non ha tutti zeri ed anche quella della "completa" non ha tutti zeri, vuol dire che le due matrici, di struttura rispettivamente 2x4 e 2x5, hanno entrambe rango comune 2!

Per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ammette ${\infty ^{n - r}} = {\infty ^{4 - 2}} = {\infty ^2}$ soluzioni (dove n = numero incognite, r = rango comune, n-r = gradi di libertà delle incognite).

Saluti.