Calcolare l'ordine di un infinitesimo

[piero87]

Ciao a tutti

ero indeciso se postare la domanda qui, visto che riguarda l'ordine di infinitesimo, ma anche un limite di una funzione razionale fratta

Definizione di funzione infinitesima per \[x\rightarrow \pi\] e ordine di infinitesimo.

Determinare l'ordine di infinitesimo per \[x\rightarrow \pi\] di \[f(x)= tg(x)-(x-\pi)\]

quindi dovrò fare:

\[\lim_{x\rightarrow \pi}\frac{tg(x)-(x-\pi)}{(x-\pi)^\alpha }=\]

è giusto il procedimento?
come faccio a trovarmi alfa? devo fare a tentativi finche non ottengo un valore finito del limite?

[maurizio.schirinzi]

Ricordando la definizione di ordine di un infinitesimo si ha:
\[se\;per\;\;\;x \to {x_0}\;\;\;f(x) \to 0\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{{{(x - {x_0})}^\alpha }}}\mathop = \limits^{[\frac{0}{0}]} l \ne 0\]
allora la funzione ha ordine di infinitesimo $\alpha $

Per la tua funzione occorre dunque trovare il valore di $\alpha $ per cui il seguente limite dia un valore finito diverso da zero:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{tg(x) - (x - \pi )}}{{{{(x - \pi )}^\alpha }}}\]
Con un cambio di variabile si ha:
\[x - \pi = t\;\;\; \to \;\;\;x = \pi + t\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{tg(x) - (x - \pi )}}{{{{(x - \pi )}^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{tg(\pi + t) - t}}{{{t^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{tg(t) - t}}{{{t^\alpha }}} \cong \]
da cui sviluppando la tangente con Taylor al 3° ordine si ha:
\[ \cong \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{t + \frac{1}{3}{t^3} + o({t^3}) - t}}{{{t^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{1}{3}{t^3} + o({t^3})}}{{{t^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{t^3}[\frac{1}{3} + \frac{{o({t^3})}}{{{t^3}}}]}}{{{t^\alpha }}} = \]
e discutendo il relativo limite parametrico si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{1}{3} + \frac{{o({t^3})}}{{{t^3}}}}}{{{t^{\alpha - 3}}}} = \left\{ \begin{array}{l}
\alpha > 3\;\;\; \to \;\;\;\frac{{1/3}}{0} = \infty \\
\alpha = 3\;\;\; \to \;\;\;\frac{{1/3}}{1} = \frac{1}{3}\\
\alpha < 3\;\;\; \to \;\;\;\frac{{1/3}}{\infty } = 0
\end{array} \right.\]
dunque il valore di $\alpha $ cercato è:
\[\alpha = 3\]

Consiglio inoltre la visione dei video-tutorials di esercizi sul calcolo dei limiti parametrici con discussione completa disponibili al seguente link:

Analisi 1 >> Limiti >> Calcolo di Limiti >> Limiti Vari Parametrici


Saluti.


PS: Trattandosi di un problema di determinazione dell'ordine di un un infinitesimo (piuttosto che un calcolo puro di limite) è più opportuno spostare il topic nella relativa categoria "Ordini degli Infinitesimi e Infiniti" già disponibile nel forum. LO User Admin provvederà allo spostamento.

[piero87]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{tg(x) - (x - \pi )}}{{{{(x - \pi )}^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{tg(\pi + t) - t}}{{{t^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{tg(t) - t}}{{{t^\alpha }}} \cong \]

come mai \[ tg(\pi+t)\] diventa \[tg(t)\]

non mi è chiaro inoltre nell'ultimo passaggio, con che criterio ha dato il valore all'alfa?

[maurizio.schirinzi]

Per il cambio di variabile che è stato fatto! ... e subito dopo per i meccanismi degli archi associati della goniometria, che occorre conoscere molto bene quando si lavora con le funzioni goniometriche! ... ti consiglio quindi un ripasso di quella parte oltre a tutte le formule e proprietà delle funzioni goniometriche.

Per lo studio parametrico del limite guarda i video-tutorials che ti ho indicato e capirai tutti i criteri da usare per la discussione.