Per questi esercizi occorre ricorrere all'approssimazione della funzione integranda nello sviluppo di Taylor-MacLaurin con il resto di Lagrange ed opportune maggiorazioni.
\[\int_0^{log2} a rctg(\frac{{{e^{ - x}}}}{3})dx\]
Ricordando che:
\[f(x) = f(0) + f'(0)\;x + \frac{{f''(0)}}{{2!}}{x^2} + \;...\; + \frac{{{f^n}(0)}}{{n!}}{x^n} + {R^n}(x) = \]
\[ = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^k}(0)}}{{k!}}{x^k}} + {R^n}(x)\]
dove
\[{R^n}(x) = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^k}(0)}}{{k!}}{x^k}} = \frac{{{f^{n + 1}}(\xi )}}{{(n + 1)!}}{x^{n + 1}}\]
calcolando lo sviluppo di Taylor al 1° ordine e ragionando poi nell'intervallo di integrazione [0,ln(2)] si ha
\[f(x) = arctg(\frac{1}{3}{e^{ - x}})\]
\[f'(x) = \frac{1}{{{{(\frac{1}{3}{e^{ - x}})}^2} + 1}}( - \frac{1}{3}{e^{ - x}}) = \frac{{ - \frac{1}{3}{e^{ - x}}}}{{\frac{1}{9}{e^{ - 2x}} + 1}} = \frac{{ - 3{e^{ - x}}}}{{{e^{ - 2x}} + 9}}\]
\[f'(0) = - \frac{3}{{10}}\]
calcolando anche la derivata seconda che servirà nella formula del resto di Lagrange si ha
\[f''(x) = \frac{{3{e^{ - x}}({e^{ - 2x}} + 9) - ( - 3{e^{ - x}})( - 2{e^{ - 2x}})}}{{{{({e^{ - 2x}} + 9)}^2}}} = \]
\[ = \frac{{3{e^{ - x}}[({e^{ - 2x}} + 9) + ( - 2{e^{ - 2x}})]}}{{{{({e^{ - 2x}} + 9)}^2}}} = \frac{{3{e^{ - x}}(9 - {e^{ - 2x}})}}{{{{({e^{ - 2x}} + 9)}^2}}}\]
dunque con lo sviluppo al primo ordine (n=1) si ha
\[f(x) = arctg(\frac{1}{3}{e^{ - x}}) = f(0) + f'(0)\;x + {R^1}(x) = \]
\[ = arctg(\frac{1}{3}) - \frac{3}{{10}}x + {R^1}(x)\]
quindi l'integrale sarà:
\[\int\limits_0^{\ln (2)} {f(x)dx = \int\limits_0^{\ln (2)} {(arctg(\frac{1}{3}) - \frac{3}{{10}}x)dx + } } \int\limits_0^{\ln (2)} {{R^1}(x)dx} \]
calcoliamo prima l'errore (con il resto di Lagrange) che commettiamo calcolando l'integrale con questa approssimazione di Taylor al 1° ordine
\[{R^1}(x) = \frac{{{f^{1 + 1}}(\xi )}}{{(1 + 1)!}}{x^{1 + 1}} = \frac{{{f^2}(\xi )}}{{2!}}{x^2} = \]
\[ = \frac{{3{e^{ - \xi }}[9 - {e^{ - 2\xi }}]}}{{2\,{{({e^{ - 2\xi }} + 9)}^2}}}{x^2} = \frac{{3{e^{ - \xi }}[9 - {e^{ - 2\xi }}]}}{{2\,{{({e^{ - 2\xi }} + 9)}^2}}}{x^2}\]
\[\int\limits_0^{\ln (2)} {{R^1}(x)dx} = \int\limits_0^{\ln (2)} {\frac{{3{e^{ - \xi }}[9 - {e^{ - 2\xi }}]}}{{2\,{{({e^{ - 2\xi }} + 9)}^2}}}{x^2}dx = } \left[ {\frac{{3{e^{ - \xi }}[9 - {e^{ - 2\xi }}]}}{{2\,{{({e^{ - 2\xi }} + 9)}^2}}}\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^{\ln (2)} = \]
\[ = \frac{{{e^{ - \xi }}[9 - {e^{ - 2\xi }}]}}{{2\,{{({e^{ - 2\xi }} + 9)}^2}}}{\ln ^3}(2) \le \frac{{{e^{ - \ln (2)}}[9 - {e^{ - 2\ln (2)}}]}}{{2\,{{({e^{ - 2\ln (2)}} + 9)}^2}}}{\ln ^3}(2) = \]
\[ = \frac{{\frac{1}{2}[9 - \frac{1}{4}]}}{{2{{(\frac{1}{4} + 9)}^2}}}{\ln ^3}(2) = \frac{{4,37}}{{171,12}}0,33 = 0,008\]
l'errore è dunque maggiorato da una quantità (0,008) inferiore a 0,01 dunque è accettabile e possiamo quindi calcolare l'integrale con la funzione che abbiamo approssimato al 1° ordine con Taylor
\[\int\limits_0^{\ln (2)} {f(x)dx = \int\limits_0^{\ln (2)} {(arctg(\frac{1}{3}) - \frac{3}{{10}}x)dx} + \;} 0,008\]
cioè
\[\int\limits_0^{\ln (2)} {f(x)dx \cong \int\limits_0^{\ln (2)} {(arctg(\frac{1}{3}) - \frac{3}{{10}}x)dx} = } \]
\[ = \;\left[ {arctg(\frac{1}{3})\;x - \frac{3}{{20}}{x^2}} \right]_0^{\ln (2)} = arctg(\frac{1}{3})\;\ln (2) - \frac{3}{{20}}{\ln ^2}(2)\]
Saluti.
PS: Questo topic andrebbe spostato nella più opportuna categoria di Calcolo Approssimato di Integrali che lo User Admin provvederà a creare e quindi a spostare questo topic.
