Ciao,
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {n\,{e^{ - n}}arctg(n!)} \]
analizzando il comportamento asintotico del termine n-esimo si ha
\[n\,{e^{ - n}}arctg(n!)\mathop \simeq \limits_{n \to + \infty } n\,{e^{ - n}}\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2}\frac{n}{{{e^n}}}\,\]
poichè la serie notevole di confronto
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{\pi }{2}\frac{n}{{{e^n}}}} = \frac{\pi }{2}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{n}{{{e^n}}}} \]
è una serie convergente, per il Criterio del Confronto asintotico anche la nostra serie sarà connvergente!
Per completezza riporto anche la dimostrazione della convergenza della serie di confronto
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{n}{{{e^n}}}} \]
utilizzando il Criterio del Rapporto si ha
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{n + 1}}{{{e^{n + 1}}}}}}{{\frac{n}{{{e^n}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n + 1}}{{{e^{n + 1}}}}\frac{{{e^n}}}{n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n + 1}}{{{e^n}e}}\frac{{{e^n}}}{n} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n + 1}}{e}\frac{1}{n} = \frac{1}{e}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n + 1}}{n} = \frac{1}{e}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\,(1 + \frac{1}{n})}}{n} = \]
\[ = \frac{1}{e}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{e} \cdot 1 = \frac{1}{e} < 1\;\;\; \to \;\;\;converge!\]
Saluti.
PS: Essendo la tua serie una "Serie Numerica (di numeri reali)" e non una "Serie di Funzioni" il post andava classificato nella più opportuna categoria. Lo User Admin provvederà allo spostamento.
