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Salve, quale sarebbe la miglior via per procedere con un esercizio di questo tipo?

Al variare del parametro reale \[\lambda\] determinare per quali valori di \[\lambda\] la successione è limitata, convergente, divergente o indeterminata.

\[\left \{ a_{n} \right \}_{n\epsilon \mathbb{N}}= (-1)^n \frac{1}{\tan (\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})}n^\frac{\lambda ^2}{\lambda -1}\]

gentilissimi.

Ciao,
\[{a_n} = {( - 1)^n}\frac{1}{{tg(\sqrt {{n^3} + 1} - \sqrt {{n^3} - 1} )}}{n^{\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}}}}\]
per studiare la convergenza/divergenza della successione, essendo una successione a termini di segno alterno, possiamo studiare prima di tutto l'assoluta convergenza, cioè la convergenza dei termini
\[\left| {{a_n}} \right| = \frac{1}{{tg(\sqrt {{n^3} + 1} - \sqrt {{n^3} - 1} )}}{n^{\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}}}}\]
poichè sappiamo che
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt {{n^3} + 1} - \sqrt {{n^3} - 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(\sqrt {{n^3} + 1} - \sqrt {{n^3} - 1} )(\sqrt {{n^3} + 1} + \sqrt {{n^3} - 1} )}}{{\sqrt {{n^3} + 1} + \sqrt {{n^3} - 1} }} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{n^3} + 1 - {n^3} + 1}}{{\sqrt {{n^3} + 1} + \sqrt {{n^3} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{2}{{\sqrt {{n^3} + 1} + \sqrt {{n^3} - 1} }} = 0\]
l'argomento della tangente tende dunque a zero e possiamo studiare il comportamento asintotico dei termini della successione nel seguente modo
\[\left| {{a_n}} \right| = \frac{1}{{tg(\sqrt {{n^3} + 1} - \sqrt {{n^3} - 1} )}}{n^{\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}}}} = \]
\[ = \frac{1}{{\frac{{tg(\sqrt {{n^3} + 1} - \sqrt {{n^3} - 1} )}}{{\sqrt {{n^3} + 1} - \sqrt {{n^3} - 1} }}(\sqrt {{n^3} + 1} - \sqrt {{n^3} - 1} )}}{n^{\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}}}}\mathop \approx \limits_{n \to \infty } \]
\[\mathop \approx \limits_{n \to \infty } \frac{1}{{1 \cdot (\sqrt {{n^3} + 1} - \sqrt {{n^3} - 1} )}}{n^{\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}}}} = \]
\[ = \frac{{\sqrt {{n^3} + 1} + \sqrt {{n^3} - 1} }}{{(\sqrt {{n^3} + 1} - \sqrt {{n^3} - 1} )(\sqrt {{n^3} + 1} + \sqrt {{n^3} - 1} )}}{n^{\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}}}} = \]
\[ = \frac{{\sqrt {{n^3} + 1} + \sqrt {{n^3} - 1} }}{{{n^3} + 1 - {n^3} + 1}}{n^{\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}}}}\mathop \approx \limits_{n \to \infty } \frac{{2\sqrt {{n^3}} }}{2}{n^{\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}}}} = {n^{\frac{3}{2}}}{n^{\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}}}} = {n^{\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}} + \frac{3}{2}}}\]
pertanto
\[{n^{\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}} + \frac{3}{2}}} \to 0\;\;\;per\;\;\;\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}} + \frac{3}{2} < 0\;\;\;...\]
lasciando a te i calcoli della disequazione possiamo dunque concludere che
\[\begin{array}{l}
se\;\;\;\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}} + \frac{3}{2} \ge 0\;\;\; \to \;\;\;non\;converge!\\
se\;\;\;\frac{{{\lambda ^2}}}{{\lambda - 1}} + \frac{3}{2} < 0\;\;\; \to \;\;\;converge!
\end{array}\]
Saluti.