Limite esponenziale fratto di una successione

[otleo]

Salve, come si calcola il seguente limite?
\[\lim_{n\to \infty}\frac{3^n+1}{3^{n+1}+1}\]
L'ho ottenuto dallo studio di una serie di potenze.

Sostituendo direttamente la $n$ con $\infty$ viene una forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty}$; applicare Hopital non sembra essere d'aiuto.

A occhio sembra debba venire 0 (dato che il denominatore ha un esponente più grande... anche se solo di 1) però facendolo calcolare a WolframAlpha il risultato viene 1/3.

Vorrei imparare come procedere.

Grazie!

[maurizio.schirinzi]

De L'Hopital lo potresti applicare solo nel "mondo dei numeri reali e di accumulazione", qui siamo nel mondo dei numeri naturali con la variabile n; non si può parlare di derivabilità e di limiti nell'intorno di punti che non sono di accumulazione! ...
Si potrebbe trasportare, per estensione, la funzione di variabile naturale n nel campo dei numeri reali scrivendo la funzione di x analoga, su cui poi applicare le tecniche di calcolo dei limiti dell'analisi infinitesimale (compreso De L'hopital), ma in questo caso non ce n'è bisogno dato che trascurando i termini noti "1", per il noto comportamento "forte" dell'esponenziale, si elimina subito la forma indeterminata per semplificazione dei due esponenziali rimanenti; oppure facendo tutti i passaggi rigorosi senza trascurare nulla e raccogliendo quindi i termini dominanti si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n} + 1}}{{{3^{n + 1}} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n}(1 + \frac{1}{{{3^n}}})}}{{{3^{n + 1}}(1 + \frac{1}{{{3^{n + 1}}}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(1 + \frac{1}{{{3^n}}})}}{{3 \cdot (1 + \frac{1}{{{3^{n + 1}}}})}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 + 0}}{{1 + 0}} = \frac{1}{3}\]

[otleo]

Come ho fatto a non vedere questa soluzione... il bello è che la applichi spesso negli studi di funzione... cioè proprio non la vedevo... mi demoralizzo

Grazie!