La convergenza puntuale di una successione di funzioni può dipendere proprio da x poichè per certi valori di x fissati la successione numerica che si ottiene può convergere, mentre per altri x fissati la relativa successione numerica potrebbe non convergere.
Infatti si parla di dominio di convergenza puntuale (o raggio di convergenza) e quando si ha convergenza, ad esempio punto per punto in tutti i punti di un intervallo, si dice che la successione di funzioni converge puntualmente per ogni x di quell'intervallo e il valore si convergenza di ciascuna serie numerica convergente (associata a ciascun valore di x) costituisce a sua volta una funzione di x (punto per punto) che altro non è che la funzione f(x) verso cui tende puntualmente la successione di funzioni data.
In simboli:
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {f_n}(x) = f(x)\]
Per le tue domande più generali, essendo l'argomento abbastanza lungo e avanzato da riportare in un post, ti rimando, in attesa dei futuri video-tutorials sull'argomento, ad una interessante dispensa di alcuni esercizi svolti molto accuratamente sulla convergenza puntuale e uniforme al seguente link:
Successioni di Funzioni - Esercizi SvoltiSaluti.
