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Salve a tutti,
vorrei avere un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio: "Determinare la convergenza puntuale della seguente successione di funzioni definita per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali: $f_n (x) = sin (nx)$.
Dopodiché vorrei sapere come è possibile orientarsi in esercizi in cui viene richiesto di determinare la convergenza puntuale di una funzione... Spesso infatti è necessario determinare valori della x a seconda dei quali la successione di funzioni è uguale o meno a una determinata quantità. Per esempio:

$ f_n sin(nx) = sin(nx)$ se $0<x$<=$\frac{pi}{n}$, 0 se $x> \frac{pi}{n} $
In quale modo è possibile stabilire queste "soglie" nei vari esercizi in cui è richiesta la convergenza puntuale (e successivamente quella uniforme)?
Grazie mille in anticipo

Ciao, riguardo alla tua successione di funzioni
\[{f_n}(x) = sen(nx)\]
non mi pare che converga puntualmente, dato che per $x \ne 0$ si ha
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {f_n}(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } sen(nx) = \not \exists \]
a parte l'ovvio caso banale per $x = 0$ dove si ha
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {f_n}(0) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } sen(0) = 0\]

Per le tue domande più generali, essendo l'argomento abbastanza lungo e avanzato da riportare in un post, ti rimando, in attesa dei futuri video-tutorials sull'argomento, ad una interessante dispensa di alcuni esercizi svolti molto accuratamente sulla convergenza puntuale e uniforme al seguente link:

Successioni di Funzioni - Esercizi Svolti

Saluti.