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Salve a tutti,
ho un dubbio: quanto influisce e in che modo l'intervallo in cui occorre verificare la convergenza puntuale di una successione di funzioni nel risultato?
Grazie mille in anticipo

La convergenza puntuale di una successione di funzioni può dipendere proprio da x poichè per certi valori di x fissati la successione numerica che si ottiene può convergere, mentre per altri x fissati la relativa successione numerica potrebbe non convergere.

Infatti si parla di dominio di convergenza puntuale (o raggio di convergenza) e quando si ha convergenza, ad esempio punto per punto in tutti i punti di un intervallo, si dice che la successione di funzioni converge puntualmente per ogni x di quell'intervallo e il valore si convergenza di ciascuna serie numerica convergente (associata a ciascun valore di x) costituisce a sua volta una funzione di x (punto per punto) che altro non è che la funzione f(x) verso cui tende puntualmente la successione di funzioni data.

In simboli:
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {f_n}(x) = f(x)\]
Per le tue domande più generali, essendo l'argomento abbastanza lungo e avanzato da riportare in un post, ti rimando, in attesa dei futuri video-tutorials sull'argomento, ad una interessante dispensa di alcuni esercizi svolti molto accuratamente sulla convergenza puntuale e uniforme al seguente link:

Successioni di Funzioni - Esercizi Svolti

Saluti.