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salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:
Si risolva la disequazione:

$log_{\frac{1}{2}}\left | e^{2sinx} -5e^{sinx}+6\right |\geq -1 $

grazie...

Ciao,
\[{\log _{\frac{1}{2}}}(\left| {{e^{2sen(x)}} - 5\,{e^{sen(x)}} + 6} \right|) \ge - 1\]
ecco lo svolgimento:
\[ - {\log _2}(\left| {{e^{2sen(x)}} - 5\,{e^{sen(x)}} + 6} \right|) \ge - 1\]
\[{\log _2}(\left| {{e^{2sen(x)}} - 5\,{e^{sen(x)}} + 6} \right|) \le 1\]
\[{\log _2}(\left| {{e^{2sen(x)}} - 5\,{e^{sen(x)}} + 6} \right|) \le {\log _2}(2)\]
\[\left| {{e^{2sen(x)}} - 5\,{e^{sen(x)}} + 6} \right| \le 2\]
\[ - 2 \le {({e^{sen(x)}})^2} - 5{e^{sen(x)}} + 6 \le 2\]
posto
\[{e^{sen(x)}} = t\]
si ha
\[ - 2 \le {t^2} - 5t + 6 \le 2\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{t^2} - 5t + 6 \le 2\\
{t^2} - 5t + 6 \ge - 2
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{t^2} - 5t + 4 \le 0\\
{t^2} - 5t + 8 \ge 0
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{t^2} - 5t + 4 \le 0\\
{t^2} - 5t + 8 \ge 0
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
1 \le t \le 4\\
\forall t \in R
\end{array} \right.\]
dunque
\[1 \le t \le 4\]
da cui ritornando in x
\[1 \le {e^{sen(x)}} \le 4\]
e risolvendo la disequazione esponenziale
\[{e^0} \le {e^{sen(x)}} \le {e^{\ln (4)}}\]
\[0 \le sen(x) \le \ln (4)\]
e risolvendo infine la disequazione goniometrica
\[0 + k2\pi \le x \le \pi + k2\pi \]

Saluti.

grazie