Ciao, sia da dimostrare la seguente proprietà per ogni n>=1
\[P(n):\;\sum\limits_{k = 1}^n {k\,{2^k}} = 2\,[(n - 1)\,{2^n} + 1]\]
dimostriamo la verità della proprietà per n=1,2 (basterebbe anche solo per n=1)
\[P(1):\;\sum\limits_{k = 1}^1 {k\,{2^k}} = 2\,[(1 - 1)\,{2^1} + 1]\;\;\; \to \;\;\;1 \cdot \,{2^1} = 2\,[1]\;\;\; \to \;\;\;2 = 2\]
\[P(2):\;\sum\limits_{k = 1}^2 {k\,{2^k}} = 2\,[(2 - 1)\,{2^2} + 1]\;\;\; \to \;\;\;1 \cdot \,{2^1} + 2 \cdot {2^2} = 2\,[{2^2} + 1]\;\;\; \to \;\;\;10 = 10\]
\[...\]
ora supponendo vera la proprietà n-esima
\[P(n):\;\sum\limits_{k = 1}^n {k\,{2^k}} = 2\,[(n - 1)\,{2^n} + 1]\;\;\;{\rm{(supposta}}\;{\rm{vera!)}}\]
proviamo a dimostrare che, sfruttando la verità della P(n) supposta tale, che tale verità implica anche la verità della P(n+1)
scriviamo dunque la P(n+1)
\[P(n + 1):\;\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k\,{2^k}} = 2\,[(n + 1 - 1)\,{2^{n + 1}} + 1]\;\;\; \to \;\;\;\]
staccando l'ultimo termine dalla sommatoria a primo membro si ha
\[ \to \;\;\;\sum\limits_{k = 1}^n {k\,{2^k}} + (n + 1)\,{2^{n + 1}} = 2\,[(n + 1 - 1)\,{2^{n + 1}} + 1]\;\;\; \to \]
sfruttiamo la verità della P(n) sostituendola a primo membro
\[ \to \;\;\;2\,[(n - 1)\,{2^n} + 1] + (n + 1)\,{2^{n + 1}} = 2\,[n\,{2^{n + 1}} + 1]\;\;\; \to \]
svolgiamo i calcoli a primo membro nella speranza di confermare l'identità con il secondo membro
\[ \to \;\;\;2\,[n\,{2^n} - {2^n} + 1] + n\,{2^{n + 1}} + {2^{n + 1}} = 2\,[n\,{2^{n + 1}} + 1]\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;2n\,{2^n} - 2 \cdot {2^n} + 2 + 2n\,{2^n} + 2 \cdot {2^n} = 2\,[n\,{2^{n + 1}} + 1]\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;2n\,{2^n} + 2 + 2n\,{2^n} = 2\,[n\,{2^{n + 1}} + 1]\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;2\,[n\,{2^n} + 1 + n\,{2^n}] = 2\,[n\,{2^{n + 1}} + 1]\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;2\,[2n\,{2^n} + 1] = 2\,[n\,{2^{n + 1}} + 1]\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;2\,[n\,{2^{n + 1}} + 1] = 2\,[n\,{2^{n + 1}} + 1]\;\;\; \to \;\;OK!\]
Saluti.
