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salve avrei bisogno del suoi aiuto.

Si dimostri che per ogni $n\in \mathbb{N}$, $n\geq 2$ vale le disuguaglianza:

\[\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)=\frac{n(n^{2}-1)}{3}\]

grazie

Ciao, sia data la proprietà P(n)
\[P(n):\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\,(k + 1)} = \frac{{n\,({n^2} - 1)}}{3}\;\;\;\;\;(n \ge 2)\]
verifichiamo la sua verità per n=2 e n=3 (basta solo per n=2)
\[P(2):\;\;\;1\,(1 + 1) = \frac{{2\,(4 - 1)}}{3}\;\;\; \to \;\;\;2 = 2\]
\[P(3):\;\;\;1\,(1 + 1) + 2\,(2 + 1) = \frac{{3\,(9 - 1)}}{3}\;\;\; \to \;\;\;8 = 8\]
\[...\]
\[P(n):\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\,(k + 1)} = \frac{{n\,({n^2} - 1)}}{3}\]
supponendo ora vera la P(n) per ogni n appartenente a N ($n \ge 2$), scriviamo la P(n+1)
\[P(n + 1):\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^n {k\,(k + 1)} = \frac{{(n + 1)\,({{(n + 1)}^2} - 1)}}{3}\]
vediamo se, sfruttando la verità supposta della P(n), riusciamo a dimostrare la verità della P(n+1) cioè partendo dalla P(n+1) cerchiamo di dimostrare la sua verità come identità utilizzando la formula supposta valida della P(n)
\[\sum\limits_{k = 1}^n {k\,(k + 1)} = \frac{{(n + 1)\,({{(n + 1)}^2} - 1)}}{3}\]
stacchiamo l'ultimo termine (quello per n+1) dalla sommatoria a primo membro
\[\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\,(k + 1)} + n\,(n + 1) = \frac{{(n + 1)\,({n^2} + 2n + 1 - 1)}}{3}\]
ora inseriamo il secondo membro della indentità supposta vera P(n) al posto della sommatoria a primo membro
\[\frac{{n\,({n^2} - 1)}}{3} + n\,(n + 1) = \frac{{(n + 1)\,({n^2} + 2n)}}{3}\]
e svolgendo tutti i calcoli a primo membro si ha
\[\frac{{n\,({n^2} - 1) + 3n\,(n + 1)}}{3} = \frac{{n(n + 1)\,(n + 2)}}{3}\]
\[\frac{{n\,(n - 1)(n + 1) + 3n\,(n + 1)}}{3} = \frac{{n(n + 1)\,(n + 2)}}{3}\]
\[\frac{{n\,(n + 1)[n - 1 + 3\,]}}{3} = \frac{{n(n + 1)\,(n + 2)}}{3}\]
\[\frac{{n\,(n + 1)(n + 2\,)}}{3} = \frac{{n(n + 1)\,(n + 2)}}{3}\]
dunque si arriva ad una identità che conferma la validità della P(n) per ogni n appartenente a N ($n \ge 2$).

Saluti.