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salve avrei bisogno del suoi aiuto con questo esercizio

Si dimostri che per ogni $n \in \mathbb{N}$

$2^{n}\leq (n+1)!$

mostrando tutti i passaggi della dimostrazione.
grazie..

Ciao, dobbiamo dimostrare che vale
\[{2^n} \le (n + 1)!\;\;\;\;\;\forall n \in N,\;n \ge 0\]
indichiamo con P(n) la proprietà da dimostrare
\[P(n):\;\;\;{2^n} \le (n + 1)!\]
proviamo che è vera per n=0 e, per curiosità, anche per qualche altro valore di n (n=1, n=2)

dimostrato che P(n) vale almeno a partire da un primo valore di n (n=0), occorre quindi dimostrare che, supponendo vera la proprietà P(n) per un valore di n generico, allora la verità di P(n) implica (con qualche manovra algebrica) anche la verità di P(n+1); dunque si ha:
\[n = 0\;\;\; \to \;\;\;P(0):\;\;{2^0} \le (0 + 1)!\;\;\; \to \;\;\;1 \le 1\;\;\;vera!\]
\[n = 1\;\;\; \to \;\;\;P(1):\;\;{2^1} \le (1 + 1)!\;\;\; \to \;\;\;2 \le 2\;\;\;vera!\]
\[n = 2\;\;\; \to \;\;\;P(2):\;\;{2^2} \le (2 + 1)!\;\;\; \to \;\;\;4 \le 6\;\;\;vera!\]
\[...\]
\[{\rm{supponendo}}\;{\rm{P(n)}}\;{\rm{vera}}\;{\rm{dimostriamo}}\;{\rm{che}}\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;{\rm{P(n + 1)}}\;{\rm{e'}}\;{\rm{vera!}}\]
\[P(n):\;\;\;{2^n} \le (n + 1)!\;\;\; \to \;\;\;(n + 1)! \ge {2^n}\;\;\;{\rm{(supposta}}\;{\rm{vera!)}}\]
\[P(n + 1):\;\;\;{2^{n + 1}} \le (n + 1 + 1)!\;\;\; \to \;\;\;{2^{n + 1}} \le (n + 2)!\;\;\; \to \;\;\;(n + 2)! \ge {2^{n + 1}}\]
partiamo dal 1° membro della P(n+1) appena riscritta ribaltata
\[(n + 2)! = (n + 2)(n + 1)! \ge 2(n + 1)! \ge 2 \cdot {2^n} = {2^{n + 1}}\;\;\; \to \;\;\;{\rm{P(n + 1)}}\;{\rm{e'}}\;{\rm{vera!}}\;\;\;{\rm{C}}{\rm{.V}}{\rm{.D}}\]
\[{\rm{dove}}\;\;(n + 2)(n + 1)! \ge 2(n + 1)!\;\;{\rm{essendo}}\;{\rm{n + 2 > 2}}\]
\[{\rm{dove}}\;\;2(n + 1)! \ge 2 \cdot {2^n}\;\;{\rm{avendo}}\;{\rm{supposto}}\;{\rm{vera}}\;{\rm{la}}\;{\rm{P(n)}}\;{\rm{cioe'}}\;{\rm{che}}\;\;(n + 1)! \ge {2^n}\]

Saluti.