Dimostrazione di disuguaglianza con moduli e funzioni goniometriche

[luciogarto]

Salve,per prima cosa voglio fare i complimenti per questo sito,mi è stato molto utile,
poi volevo un aiuto per questa dimostrazione:

per ogni x,y appartenenti a R dimostrare che $ |sin(x)-sin(y)|<=|x-y| $

non ne sono convinto,ma forse si dovrebbero usare gli sviluppi di taylor,non vorrei dire eresie.

grazie in anticipo

P.S tra i due moduli c'è un minore uguale,non so perchè me lo fa così

[maurizio.schirinzi]

Ciao, \[\left| {sen(x) - sen(y)} \right| \le \left| {x - y} \right|\]
ricordando che, per ovvie considerazioni geometriche-goniometriche nel modello goniometrico, si ha
\[\begin{array}{l}
\left| {sen(\alpha )} \right| \le \left| \alpha \right|\;\;\;(1)\\
\left| {\cos (\alpha )} \right| \le 1\;\;\;(2)
\end{array}\]
e ricordando una delle note formule di prostaferesi
\[sen(p) - sen(q) = 2\cos (\frac{{p + q}}{2})\,sen(\frac{{p - q}}{2})\;\;\;(3)\]
si avrà
\[\left| {sen(x) - sen(y)} \right|\mathop = \limits^{(3)} \left| {2\cos (\frac{{x + y}}{2})\,sen(\frac{{x - y}}{2})} \right|\mathop \le \limits^{(2)} \]
\[\mathop \le \limits^{(2)} \left| {2 \cdot 1 \cdot sen(\frac{{x - y}}{2})} \right|\mathop \le \limits^{(1)} \left| {2\frac{{x - y}}{2}} \right| = \left| {x - y} \right|\]


Saluti.


PS: Trattandosi di una disuguaglianza goniometrica la potremmo classificare più opportunamente in uno degli argomenti di trigonometria, ad esempio "Dimostrazioni Trigonometriche Varie". Lo User Admin provvederà a spostare questo topic nella categoria più appropriata.