Determinare il parametro alfa in modo che la funzione sia derivabile

[gloria]

\[\sin \left ( \left |x|^\alpha \left ( \left.\]
Vorrei sapere come faccio a capire quale valore assegnare al parametro alfa x far si che la funzione sia derivabile in x=0 ..grazie a chi rispondera'

[maurizio.schirinzi]

Ciao, la formula è incomprensibile! ... potresti provare a riscriverla meglio con l'equation editor? ... Grazie.

[gloria]

\[\sin \left ( \left | x^{\alpha } \right | \right )\]
Ecco devo verificare che la funzione sia derivabile in x=0 scegliendo un alfa opportuno. Si vede ora la formula?

[maurizio.schirinzi]

Si... ora la formula si vede... alfa come è definito nel testo dell'esercizio? ... è un numero reale qualsiasi o intero?... positivo o negativo?... cosa sappiamo esattamente di alfa?

[gloria]

Alfa e' un numero reale qualsiasi credo,perche' nell 'esercizio non e ' specificato

[maurizio.schirinzi]

Allora in tal caso ${x^\alpha }$ sarebbe un esponenziale e poichè il suo campo di esistenza è $x \ge 0\; \wedge \;{0^0} = \not \exists $ la funzione non potrebbe essere mai derivabile nel punto x=0 perchè a sinistra di zero il limite del rapporto incrementale non potrebbe esistere in quanto non esiste la funzione!
Si noti inoltre che anche se per $\alpha = 0$ la funzione diventa una costante $sen({x^0}) = sen(1)\;con\;x \ne 0$ non sarebbe comunque definita per x=0 quando $\alpha = 0$.

In conclusione la funzione non sarà mai derivabile in x=0 per nessun valore di $\alpha $

Diversa sarebbe la questione nel caso della funzione scritta cosi: \[f(x) = sen({\left| x \right|^\alpha })\]
Saluti.

[gloria]

La ringrazio,e' stato molto chiaro!....e se posso...nel caso in cui la funzione sia invece quella da lei scritta e dovessi determinare sempre il parametro alfa ?

[maurizio.schirinzi]

Nel caso della funzione: \[f(x) = sen({\left| x \right|^\alpha })\] occorre aprire i casi del valore assoluto e studiarla a tratti:
\[f(x) = sen({\left| x \right|^\alpha }) = \left\{ \begin{array}{l}
sen({x^\alpha })\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x > 0\\
0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 0\;\;\;(\alpha > 0)\\
sen({( - x)^\alpha })\;\;\;\;\;x < 0\;
\end{array} \right.\] con dominio dipendente dal parametro \[\begin{array}{l}
{D_f} = R\;\;\;(\alpha > 0)\\
{D_f} = R - \{ 0\} \;\;\;(\alpha \le 0)
\end{array}\]
quindi nel caso di $\alpha > 0$ la funzione è continua in x=0 e studiando la derivabilità si ha:
\[\left[ \begin{array}{l}
x > 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;f'(x) = \cos ({x^\alpha })\,\alpha \,{x^{\alpha - 1}}\\
x < 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;f'(x) = \cos ({( - x)^\alpha })\,\alpha \,{( - x)^{\alpha - 1}}\\
x = 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;f'(0) = \;?
\end{array} \right.\]
studiando a parte il punto sospetto di derivabilità x=0 e applicando il teorema-criterio di sufficiente derivabilità (perchè la funzione è continua in x=0) si ottengono gli equivalenti limiti dei rapporti incrementali in x=0
\[\left[ \begin{array}{l}
{f_ + }'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \cos ({x^\alpha })\,\alpha \,{x^{\alpha - 1}} = 0\\
{f_ - }'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \cos ({( - x)^\alpha })\,\alpha \,{( - x)^{\alpha - 1}} = 0
\end{array} \right.\] che confermano la derivabilità in x=0 cioè \[f'(0) = 0\] ma solo per $\alpha > 0$

Saluti.

NB: Il topic verrà spostato dallo User Admin nella sezione più appropriata "Studio Derivabilità e Continuità".