Studio asintoti

[Martina]

Salve questa è la mia funzione:
\[y= log\left ( 15-e^{x} \right )\]
\[D=\left ( -\infty ,ln15 \right )\]
è possibile calcolare l'asintoto verticale con un logaritmo naturale all'esponente?


\[\lim_{ln15} 15-e^{ln15}\]

Grazie mille in anticipo

[maurizio.schirinzi]

Certamente! ... ricordando bene le proprietà e la definizione di logaritmo si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \ln {{(15)}^ - }} \ln (15 - {e^x}) = \ln (15 - {e^{\ln {{(15)}^ - }}}) = \ln (15 - {15^ - }) = \ln ({0^ + }) = - \infty \]
Saluti.

[Martina]

Salve, di questa funzione ho calcolato l'asintoto orizzontale


\[\lim_{x\rightarrow -\infty } log\left ( 15-e^x \right ) = log\left ( 15 \right )\]
e anche la derivata prima e seconda:


\[f'\rightarrow \frac{e^x}{15-e^ x}\]
\[f''\rightarrow \frac{ 15e^x}{ \left ( 15-e^x \right )^2}\]


Ma non riesco a trovarmi con il grafico finale e non riesco a capire dove sbaglio

Grazie mille ancora una volta

[maurizio.schirinzi]

Ciao, le derivate hanno un segno sbagliato! ...
\[\begin{array}{l}
f(x) = \ln (15 - {e^x})\\
f'(x) = \frac{{ - {e^x}}}{{15 - {e^x}}}\\
f''(x) = \frac{{ - 15{e^x}}}{{{{\left( {15 - {e^x}} \right)}^2}}}
\end{array}\]
Saluti.