Integrale per parti con doppia integrazione per parti

[gloria]

\[\int\sqrt{x+1} \log^{2} (x+1)\]
Vorrei avere lo svolgimento di questo integrale per favore

[maurizio.schirinzi]

Ciao, si tratta di un normale integrale per parti con applicazione dell'integrazione per parti 2 volte in cascata ... non è quindi un integrale per parti "ciclico"! ... ecco lo svolgimento:
\[\int {\sqrt {x + 1} } \;{\ln ^2}(x + 1)\,dx = \;...\]
scegliendo nel seguente modo il fattore differenziale e quello finito
\[\begin{array}{l}
f' = \sqrt {x + 1} \;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;f = \int {\sqrt {x + 1} \,dx = } \int {{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{2}{3}{(x + 1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} \\
g = {\ln ^2}(x + 1)
\end{array}\]
si ha:
\[\begin{array}{l}
... = [\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} {\ln ^2}(x + 1)\,] - \int {\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} 2} \ln (x + 1)\frac{1}{{x + 1}}\,dx = \\
= [\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} {\ln ^2}(x + 1)\,] - \int {\frac{2}{3}(x + 1)\sqrt {(x + 1)} 2} \ln (x + 1)\frac{1}{{x + 1}}dx = \\
= [\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} {\ln ^2}(x + 1)\,] - \frac{4}{3}\int {\sqrt {(x + 1)} } \ln (x + 1)\,dx = \;...
\end{array}\]
scegliendo ancora nel seguente modo il fattore differenziale e quello finito
\[\begin{array}{l}
f' = \sqrt {x + 1} \;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;f = \int {\sqrt {x + 1} \,dx = } \frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} \\
g = \ln (x + 1)
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
... = [\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} {\ln ^2}(x + 1)\,] - \frac{4}{3}\{ \;[\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} \ln (x + 1)\,] - \int {\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} } \frac{1}{{x + 1}}\,\,dx\;\} = \\
= [\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} {\ln ^2}(x + 1)\,] - \frac{4}{3}\{ \;[\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} \ln (x + 1)\,] - \frac{2}{3}\int {(x + 1)\sqrt {(x + 1)} } \frac{1}{{x + 1}}\,\,dx\;\} = \\
= [\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} {\ln ^2}(x + 1)\,] - \frac{4}{3}\{ \;[\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} \ln (x + 1)\,] - \frac{2}{3}\int {\sqrt {(x + 1)} } dx\;\} = \\
= [\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} {\ln ^2}(x + 1)\,] - \frac{4}{3}\{ \;[\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} \ln (x + 1)\,] - \frac{2}{3}\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} \;\} = \\
= [\,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} {\ln ^2}(x + 1)\,] - \frac{4}{3}\{ \;\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} \ln (x + 1) - \frac{4}{9}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} \;\} = \\
= \,\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} {\ln ^2}(x + 1)\, - \frac{8}{9}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} \ln (x + 1)\,] + \frac{{16}}{{27}}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} = \\
= \frac{2}{{27}}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} \;[\;9{\ln ^2}(x + 1)\, - 12\ln (x + 1)\, + 8\;] + c
\end{array}\]

Saluti.

NB: Lo User Admin ha modificato il titolo del topic da "Integrale per parti ciclico" in "Integrale per parti con doppia integrazione per parti".