Derivabilita' della funzione

[gloria]

Il testo dice : calcolare la derivata della funzione \[Y=\sqrt{1+\arcsin \sqrt{x}}\]
E dire se la funzione e * derivabile in x=0

[maurizio.schirinzi]

Sullo studio della derivabilità sono disponibili moltissimi video-tutorials dettagliatissimi. Ti consiglio prima di guardare accuratamente quei video per acquisire le tecniche necessarie; successivamente provare a postare la traccia della tua tentata soluzione evidenziando gli eventuali problemi o dubbi incontrati.

Si ricorda che lo spirito del forum non è quello di postare "esercizi da far risolvere" ma discutere sui dubbi e le problematiche incontrate nello svolgimento della propria tentata soluzione!

Saluti.

[gloria]

Li ho gia visti i video...comunque va bene allora parto dal mio dubbio se preferisce.. Ho fatto la derivata che e ' la seguente \[\frac{1}{4\sqrt{1 +\arcsin \sqrt{x}(1-x )(x)}}\]
Da qui ho sfruttato il criterio di sufficente derivabilita e ho fatto il limite per x--> 0 sia a destra che a sinistra di zero della derivata che ho scritto sopra . Credo di sbagliare qualcosa in quanto a me la funzione risulta derivabile in x=0 mentre ricontrollando i miei appunti dovrebbe venirmi non derivabile in x =0

[maurizio.schirinzi]

La derivata viene cosi: \[f'(x) = \frac{1}{{4\sqrt {1 + \arcsin (\sqrt x )} }}\frac{1}{{\sqrt {(1 - x)} }}\frac{1}{{\sqrt x }}\]

Infatti il limite per x->0+ è +infinito e il limite per x->0- non può esistere perchè la funzione per x<0 è fuori dominio e quindi il limite sinistro non esiste!

Pertanto non potrà essere derivabile nel punto x=0.

Saluti.

[gloria]

Scusi s credo di aver problemi cn il dominio della funzione di partenza allora.potrebbe farmi vedere come svolge il dominio per favore ? Grazie mille

[maurizio.schirinzi]

\[f(x) = \sqrt {1 + \arcsin (\sqrt x )} \]
Per rispondere alla tua domanda non serve il calcolo dell'intero dominio! ... basta solo notare che per il campo di esistenza della radice deve essere prima di tutto $x \ge 0$. Questo già basta per capire che a sinistra di zero non esistendo la funzione non potrà esistere il limite del rapporto incrementale!!
Comunque per lo studio completo del dominio occorrono le seguenti condizioni:
\[\left\{ \begin{array}{l}
1 + arcsen(\sqrt x ) \ge 0\;\;\;ok!\\
\left. \begin{array}{l}
- 1 \le \sqrt x \le 1\\
x \ge 0
\end{array} \right\}\;\;\; \to \;\;\;\;0 \le x \le 1\;\;\; \to \;\;\;\;0 \le \sqrt x \le 1
\end{array} \right.\]
si noti che la prima viene soddisfatta se sono vere le altre 2, infatti:
\[0 \le \sqrt x \le 1\;\;\; \to \;\;\;\;0 \le arcsen(\sqrt x ) \le \frac{\pi }{2}\;\;\; \to 1 + arcsen(\sqrt x ) > 0\;\;\;\;\]
pertanto il dominio sarà: \[{D_f} = [0,1]\]
Saluti.

[gloria]

Ok ho capito ..grazie tanto..