Limite di funzione con sen x e logaritmo

[RBPope1938]

Ecco il limite:
\[\lim_{x\to0^-}\frac{sen(x) ln (1+x)}{x(2^{x^2}-1)}\]



verrebbe da ricondurre il $\frac{sen x }{x}= 1$ e poi lavorare sul resto, ma non sono sicuro. Comunque dovrebbe risultare $-\infty$ ma non è certo. grazie in anticipo

[maurizio.schirinzi]

Si! ... basta "smontare" il limite a pezzi applicando i vari limiti notevoli con le solite manipolazioni e le proprietà dei limiti:
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{sen(x)ln(1 + x)}}{{x({2^{{x^2}}} - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{sen(x)}}{x}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ln(1 + x)}}{{({2^{{x^2}}} - 1)}} = 1 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\frac{{ln(1 + x)}}{x}x}}{{\frac{{{2^{{x^2}}} - 1}}{{{x^2}}}{x^2}}} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\frac{{ln(1 + x)}}{x}}}{{\frac{{{2^{{x^2}}} - 1}}{{{x^2}}}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{x}{{{x^2}}} = \frac{1}{1} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty
\end{array}\]
Saluti.

NB: Visto che si trattava di un limite di funzione varia con tecniche di limiti notevoli è opportuno spostare il topic nella categoria più appropiata "Calcolo Limiti con tecniche di Limiti Notevoli". Lo User Admin provvederà allo spostamento.

[RBPope1938]

La ringrazio per lo svolgimento e mi scuso per l'off topic. dato il nostro lim

\[\lim_{x\to 0^-}\frac{sen(x)ln(1+x)}{x(2^{x^2}-1)}\]


Avrei risolto questo limite in un modo diverso...ma forse incorretto?

\[\lim_{x\to 0^-}\frac{sen(x)}{x}=1\]

lavorando poi sul resto avrei applicato de Hopital così:

\[\lim_{x\to 0^-}\frac{ln(1+x)}{2^{x^2}-1}= \frac{0}{0}\]
\[\lim_{x\to 0^-}\frac{\frac{1}{1+x}}{2^{x^2}\cdot ln2\cdot 2x}= \frac{1}{0^-}=-\infty\]

forse un po' più contorto, anzi sicuramente, ma su l'esattezza mi rivolgo al suo "insindacabile" giudizio.
La ringrazio sempre e comunque per la sua disponibilità e cortesia. Ce ne fossero di più come lei, magari questa materia non sarebbe denigrata!

[maurizio.schirinzi]

Si! ... va benissimo anche con De L'Hopital !! ... anche se il mio consiglio è sempre quello di usare De L'Hopital solo quando è strettamente necessario, in modo da tenersi sempre in allenamento con tutte le altre tecniche di calcolo dei limiti.
Si ricordi infatti che De L'Hopital in certe situazioni non è utilizzabile o comporta eccessivi calcoli dovuti all'algebra di derivazione!

Ciao.