Derivata di funzione integrale

[silvietta91]

Salve professore,

ho la funzione

\[F(x)= \int_{0}^{x} xsin(t^2)dt\]

come si calcola la derivata seconda?

Grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao, innanzi tutto c'è un errore di trascrizione: la funzione integranda deve essere tutta in t (la x dentro all'integrale deve essere una t) !!

Per calcolare la derivata seconda occorre ovviamente calcolare prima la derivata prima con il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow); quindi si procede al calcolo della derivata seconda normalmente con le regole di derivazione:
\[\begin{array}{l}
F(x) = \int_0^x {t\,sin({t^2})} \,dt\\
F'(x) = \frac{d}{{dx}}\;\int_0^x {t\,sin({t^2})} \,dt\, = D\;[\int_0^x {t\,sin({t^2})} \,dt\,] = x\,sin({x^2})\\
F''(x) = D\,[x\,sin({x^2})\,] = 1\,sin({x^2}) + x\,\cos ({x^2})\,2x = sin({x^2}) + 2{x^2}\,\cos ({x^2})
\end{array}\]
Saluti.

[silvietta91]

La ringrazio per la sua competenza e disponibilità,tuttavia l'errore di trascrizione a cui ha fatto riferimento,non c'è. Le posto l'immagine originale del testo di questo esercizio,facente parte del totale del compito di analisi matematica che ho sostenuto la settimana scorsa:

[maurizio.schirinzi]

Confermo l'errore anche nel testo del compito !! ... la x dentro all'integrale deve essere una t !! ... possibile che non abbia detto niente nessuno durante il compito??

[silvietta91]

..incredibile! No,nessuno ha detto nulla dato che non sapevamo come risolverlo! Lo faremo presente al professore..dato che ha condizionato l'esame. Ora devo sostenere l'orale,meno male che lei mi ha illuminato su questa cosa,la ringrazio nuovamente

[maurizio.schirinzi]

L'unica spiegazione plausibile potrebbe essere che la x dentro all'integrale l'abbia messa in modo ingannevole e cioè come una costante da portare fuori dall'integrale! ... infatti l'integrale viene eseguito nella variabile t e di solito tutta la funzione integranda la si esprime in t.
Dunque se le cose stavano cosi allora la x la puoi portare fuori dall'integrale e trattarla come una costante rispetto all'integrazione ma poi ovviamente nella derivata prima complessiva e quindi nella seconda va tenuta in conto.

Ecco i passaggi in quel caso:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) = \int_0^x {x\;sin({t^2})} \;dt = x\int_0^x {sin({t^2})\;} dt}\\
{F'(x) = \frac{d}{{dx}}\;[x\int_0^x {sin({t^2})\;} dt] = 1\;\int_0^x {sin({t^2})} \;dt + x\frac{d}{{dx}}\int_0^x {sin({t^2})} \;dt = }\\
{ = \int_0^x {sin({t^2})} \;dt + xsin({x^2})}\\
{F''(x) = \frac{d}{{dx}}[\int_0^x {sin({t^2})} \;dt + xsin({x^2})] = \frac{d}{{dx}}\int_0^x {sin({t^2})} \;dt + \frac{d}{{dx}}[xsin({x^2})] = }\\
\begin{array}{l}
= sen({x^2}) + [1sen({x^2}) + x\cos ({x^2})2x] = sen({x^2}) + sen({x^2}) + 2{x^2}\cos ({x^2}) = \\
= 2sen({x^2}) + 2{x^2}\cos ({x^2})
\end{array}
\end{array}\]

Mi sembra ovvio a questo punto che se all'esame il prof non ha evidenziato errori nel testo la soluzione sia quest'ultima!!

Sembra quindi che il tuo prof si diverta a darvi esercizi un pò "atipici" ricchi di trabocchetti!



[EDIT] Correzione errore!

[silvietta91]

Allora potrebbe essere questa l'interpretazione giusta, grazie!!

Non capisco però perchè nel calcolo della derivata prima è tornata la t davanti il seno

\[x \int_{0}^{x} t sin(t^2)dt\]

Non dovrebbe essere semplicemente

\[x \int_{0}^{x} sin(t^2)dt\]


Grazie mille!!

[maurizio.schirinzi]

SI !! ... scusami ma nel fare copia e incolla dal post precedente non ho tolto la t !!

Correzione effettuata in [EDIT] nel post precedente !!

[silvietta91]

Ora è molto piu' chiaro, grazie!!

[silvietta91]

Prof una domanda al volo: in questa tipologia di integrali [a e b] sono sempre [x e o] ?? Mi scuso in anticipo se la mia domanda può sembrarle stupida! Grazie

[maurizio.schirinzi]

Di solito in uno degli estremi ci deve essere la x o una funzione di x ma non è escluso che ci possa essere x in entrambi gli estremi, nel qual caso l'integrale va spezzato con la proprietà di additività introducendo uno dei due estremi fisso (preso arbitrariamente nell'intervallo di integrabilità e di dominio della funzione) per poter applicare il teorema fondamentale della derivata della funzione integrale la cui formula funziona con un estremo fisso e l'altro variabile!

Ciao

[silvietta91]

Ok, ma nel caso al posto di 0 ci fosse stata un'altra costante, ad esempio 1 o 2?

Grazie mille per la disponibilità

[maurizio.schirinzi]

Non cambierebbe nulla! ... il teorema fondamentale di Torricelli-Barrow è insensibile alle costanti!