Studio convergenza della serie in cui è presente la funzione seno

[gloria]

Salve, vorrei sapere come svolgere questa )\\[\sum sin (\frac{1}{\sqrt {n+2}\}} ) · \frac{n}{n^{2}+3}\]

[maurizio.schirinzi]

Ciao, si tratta di una serie di numeri reali e NON una serie di funzioni!! ... ti prego di fare più attenzione a postare nella categoria appropriata!
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {sen(\frac{1}{{\sqrt {n + 2} }})\frac{n}{{{n^2} + 3}}} \]
Poichè l'argomento del seno tende a zero (per n-->infinito) è possibile approssimare con Taylor al 1° ordine il seno con il suo argomento ottenendo il seguente comportamento asintotico del termine generico della serie:
\[\frac{1}{{\sqrt {n + 2} }} \to 0\]
\[sen(\frac{1}{{\sqrt {n + 2} }})\frac{n}{{{n^2} + 3}} \approx \frac{1}{{\sqrt {n + 2} }}\frac{n}{{{n^2} + 3}} \approx \frac{1}{{\sqrt n }}\frac{n}{{{n^2}}} = \frac{1}{{{n^{1/2}}n}} = \frac{1}{{{n^{3/2}}}}\]
e poichè la serie
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^{3/2}}}}\;\;\;converge!} \]
per il criterio del confronto asintotico anche al serie data converge!!

Saluti.

NB: Lo User Admin sposterà il topic nella categoria più appropriata "Serie di Numeri Reali".