Studio concavità-convessità-flessi di funzione irrazionale

[Martina]

Salve, questa è la mia funzione: \[y= \sqrt{x^{3}-4x^{2}}\]



Questa è la derivata prima: \[y'= \frac{3x^{2}-8x}{2\sqrt{x^{3}-4x^{2}}}\]


Questo è, invece, il primo passaggio della derivata seconda: \[y''= \frac{6x-8(2\sqrt{x^{3}-4x^{2}})-(3x^{2}-8x)\frac{1}{2\sqrt{x^{3}-4x^{2}}}3x^{2}-8x}{(2\sqrt{x^{3}-4x^{2})^{2}}}\]

da qui inizio a perdermi forse avrò sbagliato qualche calcolo...
Grazie mille in anticipo

[maurizio.schirinzi]

Ciao, c'è qualche piccolo errore già nei primi passaggi ... ecco lo svolgimento:
\[y' = \frac{{3{x^2} - 8x}}{{2\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} }}\]
\[\begin{array}{l}
y'' = \frac{{(6x - 8)(2\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} ) - (3{x^2} - 8x)2\frac{1}{{2\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} }}(3{x^2} - 8x)}}{{{{(2\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} )}^2}}} = \\
= \frac{{(6x - 8)(2\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} ) - \frac{1}{{\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} }}{{(3{x^2} - 8x)}^2}}}{{4({x^3} - 4{x^2})}} = \frac{{\frac{{(6x - 8)2({x^3} - 4{x^2}) - {{(3{x^2} - 8x)}^2}}}{{\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} }}}}{{4({x^3} - 4{x^2})}} = \\
= \frac{{(6x - 8)2({x^3} - 4{x^2}) - {{(3{x^2} - 8x)}^2}}}{{4({x^3} - 4{x^2})\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} }} = \frac{{(12x - 16)({x^3} - 4{x^2}) - {{(3{x^2} - 8x)}^2}}}{{4({x^3} - 4{x^2})\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} }} = \\
= \frac{{12{x^4} - 48{x^3} - 16{x^3} + 64{x^2} - 9{x^4} + 48{x^3} - 64{x^2}}}{{4({x^3} - 4{x^2})\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} }} = \frac{{3{x^4} - 16{x^3}}}{{4({x^3} - 4{x^2})\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} }} = \\
= \frac{{{x^3}(3x - 16)}}{{4{x^2}(x - 4)\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} }} = \frac{{x(3x - 16)}}{{4(x - 4)\sqrt {{x^3} - 4{x^2}} }}
\end{array}\]
Saluti.

[Martina]

Dunque, a questo punto la funzione potrebbe assumere una forma, diciamo, a imbuto? O sbaglio?


PS: grazie mille ho capito dov'era l'errore nella derivata

[maurizio.schirinzi]

Ciao, il grafico della funzione è quello in allegato.
\[f(x) = \sqrt {{x^3} - 4{x^2}} \]
Saluti.