Dimostrazione teorema integrabilità termine a termine serie di funzioni

[ecdlrubata]

Salve ragazzi,
mi aiutereste nella comprensione della dimostrazione di questo teorema? Almeno per me, vengono fatti un pò troppi salti da un punto all'altro.
Scrivo di seguito il teorema così come scritto sul mio libro.

Teorema (Integrabilità termine a termine di una serie di funzioni)
Siano \(f_n\colon[a,b]\rightarrow\Re\) continue per n = 1,2,3... e supponiamo che la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n\) converga totalmente in [a,b] a una funzione \(f\). Allora la serie è integrabile termine a termine, cioè:
\[\int_a^b f(x)dx = \int_a^b \left(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\right) dx = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_a^b f_n(x)dx\right)\tag{1}\]
DIMOSTRAZIONE. Provare la (1) equivale a mostrare che
\[A_n \equiv \int_a^b f(x)dx - \sum_{k=1}^n\left(\int_a^b f_k(x)dx\right)\rightarrow 0 \ per \ n \rightarrow \infty\tag{2}\]
Poichè l'integrale è lineare su somme finite, possiamo scrivere
\[A_n = \int_a^b \left[f(x) - \sum_{k=1}^n f_k(x)\right]dx = \int_a^b\left[\sum_{k=n+1}^{\infty}f_k(x)\right]dx\tag{3}\]
Ora, dall'ipotesi di convergenza totale abbiamo:
\[\left|\sum_{k=n+1}^\infty f_k(x)\right|\leq \sum_{k=n+1}^{\infty}|f_k(x)|\leq \sum_{k=n+1}^\infty a_k\tag{4}\]
Integrando, otteniamo:
\[|A_n| \leq \int_a^b\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}f_k(x)\right|dx \leq (b-a)\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k\tag{5}\]

a. Perché dimostrare la (1) equivale a dimostrare la (2) ?
b. Nella (3) sta già utilizzando la ipotesi di convergenza ad f, e quindi il fatto che f è un numero reale già calcolato una volta fissato x, altrimenti f sarebbe comunque una somma infinita da integrare, giusto?
c. La (4) credo di averla capita, sta utilizzando il fatto che una somma di termini è sicuramente non maggiore di una somma dei stessi termini presi col segno positivo, ( una specie di disugluaglianza triangolare estesa ad infiniti termini, se vogliamo ), correggetemi se sbaglio
d. Alla numero (5), i primi due processi di integrazione non li ho capiti, ma più o meno potrei arrivarci, cosa ha usato invece al terzo?

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ecco qualche passaggio in più che dovrebbe aiutarti a capire i tuoi dubbi:
\[\begin{array}{l}
\int_a^b f (x)dx = \int_a^b {\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{f_n}} (x)} \right)} dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\int_a^b {{f_n}} (x)dx} \right)} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } [\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\int_a^b {{f_k}} (x)dx} \right)} ]\\
\int_a^b f (x)dx = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } [\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\int_a^b {{f_k}} (x)dx} \right)} ]\\
\int_a^b f (x)dx - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } [\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\int_a^b {{f_k}} (x)dx} \right)]} = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } [\int_a^b f (x)dx] - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\int_a^b {{f_k}} (x)dx} \right)} = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } [\int_a^b f (x)dx - \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\int_a^b {{f_k}} (x)dx} \right)} ] = 0
\end{array}\]
\[{A_n} = \int_a^b f (x)dx - \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\int_a^b {{f_k}} (x)dx} \right) = } \int_a^b f (x)dx - \int\limits_a^b {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}(x)} } \right)} \,dx = \int\limits_a^b {\left( {f(x) - \sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}(x)} } \right)} \,dx = ...\]
poichè possiamo scrivere:
\[f(x) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{f_k}} (x) = \sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}} (x) + \sum\limits_{k = n + 1}^\infty {{f_k}} (x)\]
ne segue:
\[f(x) - \sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}} (x) = \sum\limits_{k = n + 1}^\infty {{f_k}} (x)\]
pertanto:
\[... = \int\limits_a^b {\left( {f(x) - \sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}(x)} } \right)} \,dx = \int\limits_a^b {\left( {\sum\limits_{k = n + 1}^\infty {{f_k}} (x)} \right)} \,dx\]
dunque:
\[{A_n} = \int\limits_a^b {\left( {\sum\limits_{k = n + 1}^\infty {{f_k}} (x)} \right)} \,dx\]
per la disuguaglianza triangolare generalizzata su infiniti termini e per la convergenza totale si ha:
\[\left| {\sum\limits_{k = n + 1}^\infty {{f_k}} (x)} \right| \le \sum\limits_{k = n + 1}^\infty | {f_k}(x)|\; \le \sum\limits_{k = n + 1}^\infty {{a_k}} \]
dunque:
\[\left| {{A_n}} \right| = \left| {\int\limits_a^b {\left( {\sum\limits_{k = n + 1}^\infty {{f_k}} (x)} \right)} \,dx} \right| \le \int\limits_a^b {\left| {\sum\limits_{k = n + 1}^\infty {{f_k}} (x)} \right|} \,dx \le \int\limits_a^b {(\sum\limits_{k = n + 1}^\infty {{a_k}} } )dx = \sum\limits_{k = n + 1}^\infty {{a_k}} \int\limits_a^b {1\;dx = } (b - a)\sum\limits_{k = n + 1}^\infty {{a_k}} \mathop \to \limits_{n \to + \infty } 0\]

Saluti.

[ecdlrubata]

sei un mago! hai capito perfettamente i dubbi che avevo e me li hai chiariti tutti in un solo post, grazie davvero!