Dimostrazione teorema continuità della somma della serie

[gloria]

Salve, questo teorema afferma che se ho:
1) f_n : I----> R continue in x_0
2) e se la serid \[\sum_{n=1}^{infinito} f_n\] converge totalmente in I
Allora la somma della serie f (x) è una f. Continua in Xo . Quindi il teorema in due parole mi dice semplicemente che sommando f.continue la somma della serie è ancora una f. Continua. Giusto?
Ora x la dimostrazione, non riesco a seguirla molto.
Il mio libro (pagani, salsa) parte cosi :
Devo provare che in x_0 f (x)-----> F(x_0) per x ---> x_0 ossia che
\[|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\]

Scriviamo perciò \[f(x)-f(x_0)=\sum f_n(x)-\sum f_n(x_0)\]
poi afferma , poiche le due serie sono convegenti (questo lo prende dall*ipotesi di totale convegenza del teorema ?)
\[=\sum []f_n(x)- f_n(x_0)]=\sum_{n=1}^{N}[f_n(x)-f_n(x_0)] + \sum_{n=N+1}^{infinito} [f_n(x)-f_n(x_0)]= A_N(x)+B_N(x)\]
Per un certo N intero . Questa è la parte che non ho proprio capito. Poi il teorema continua con altre cose che non mi sono chiare intanto saei molto contenta se qualc
Uno mi chiarissime i miei dubbi.grazie :*

[maurizio.schirinzi]

Ciao, la dimostrazione dovrebbe già essere conclusa cosi ... poichè la successione ${B_N}(x) \to 0$ (quindi a partire da un certo N abbastanza grande) mentre la successione che rimane ${A_N}(x)$ è una somma finita che rappresenta quel valore che deve essere minore di $\varepsilon $.

Forse le altre considerazioni a cui ti riferisci sono queste?

Saluti.

[gloria]

ecco la dimostrazione continua cosi:
l'ipotesi di convergenza totale implica: \[\mid B_n(x)\mid \leq \sum_{n=N+1}^{infinito}\mid f_n(x)-f_n(x_0)\mid \leq \sum_{n=N+1}^{infinito}(\mid f_n(x)\mid + \mid f_n(x_0)\mid )\leq 2\sum_{n=N+1}^{infinito} a_n\] (1)

ricordiamo ora che il resto di una serie convergente è infinitesimo e cio significa che fissato \[\varepsilon > 0\] esiste un N_0 tale che :
\[\sum_{n=N+1}^{infinito} a_n< \varepsilon \Rightarrow \mid B_n(x)\mid < 2\varepsilon\] (2)

fissiamo ora un n=n_0 \[\mid {A_n}_0(x)\mid \le \sum\limits_{n = 1}^{{N_0}} \mid {f_n}_{(x)} - {f_n}({x_0})\mid \]




D'ALTRO CANTO CIASCUNA DELLE FUNZIONI F_N PER N =1.2.3.... per ipotesi è continua in x_0 perciò A_no(x) tende a zero per x che tende a x_0.
in particolare esiste \[\delta > 0\] tale che :
\[\mid x - {x_0}\mid < \delta \Rightarrow \mid {A_N}_0(x)\mid < \varepsilon \] (4)

in conclusine abbiamo trovato un delta maggiore di zero tale che
\[\mid x - {x_0}\mid < \delta \Rightarrow \mid {f_{(x)}} - {f_n}({x_0})\mid \le \,\mid {A_n}_0(x)\mid + \mid {B_n}_o(x)\mid \, < 3\varepsilon \] (5)



allora per prima cosa nella 1).perchè scrive 2 volte la serie a_n?
inoltre quando fa la considerazione sul resto di una serie convergente ,si riferisce alla condizione necessaria e non sufficente per la convergenza di una serie?
comunque si leggono tutte le formule? il mio computer non me le fa leggere ma io le ho scritte correttamente spero si vedano

[maurizio.schirinzi]

Ciao, la dimostrazione procede in modo molto particolareggiato per precisare formalmente e in modo rigoroso quanto ho detto nel precedente post ...

Infatti nel passaggio:
\[\mid {B_n}(x)\mid \le \sum\limits_{n = N + 1}^{infinito} \mid {f_n}(x) - {f_n}({x_0})\mid \le \sum\limits_{n = N + 1}^{infinito} {(\mid {f_n}(x)\mid + \mid {f_n}({x_0})\mid )} \le 2\sum\limits_{n = N + 1}^{infinito} {{a_n}} \]
viene precisato che per la convergenza totale possiamo scrivere:
\[\sum\limits_{n = N + 1}^{infinito} {(\mid {f_n}(x)\mid + \mid {f_n}({x_0})\mid )} = \sum\limits_{n = N + 1}^{infinito} {(\mid {f_n}(x)\mid )} + \sum\limits_{n = N + 1}^{infinito} {(\mid {f_n}({x_0})\mid )} \le 2\sum\limits_{n = N + 1}^{infinito} {{a_n}} \]
cioè somma di due serie convergenti maggiorate da una serie doppia (quella con la somma maggiore delle due).

Riguardo alla tua seconda domanda si! ... quando fa la considerazione sul resto di una serie convergente, si riferisce alla condizione necessaria e non sufficiente per la convergenza!

Saluti.


NB: Le ultime formule non erano leggibili in quanto contenevano un errore di formattazione LaTex. Lo User Admin ha provveduto alla correzione.

[gloria]

Ok grazie mille