Ciao, osserviamo innanzitutto che la funzione integranda arctg(t) è una funzione simmetrica rispetto all'origine (dispari), essendo poi elevata al quadrato risulterà pari e quindi simmetrica rispetto all'asse y.
A seguito di ciò, per la proprietà degli integrali sulle funzioni pari integrate su un intervallo simmetrico attorno allo zero, possiamo scrivere:
\[F(x) = \int\limits_{ - tg(x)}^{tg(x)} {arct{g^2}(t)} \;dt = \int\limits_{ - tg(x)}^{tg(x)} {(arctg(t)} {)^2}\;dt = 2\int\limits_0^{tg(x)} {(arctg(t)} {)^2}\;dt\] a questo punto calcoliamo la derivata con il teorema fondamentale di Torricelli-Barrow ed otteniamo:
\[F'(x) = \frac{d}{{dx}}{[\;2\int\limits_0^{tg(x)} {(arctg(t)} )^2}\;dt\;] = 2\frac{d}{{dx}}{[\int\limits_0^{tg(x)} {(arctg(t)} )^2}\;dt\;] = 2(arctg{(tg(x))^2} = 2{x^2} \ge 0\] si noti che \[arctg(tg(x)) = x\] essendo l'arco tangente e la tangente funzioni inverse l'una dell'altra.
Ne segue quindi che lo studio del segno della derivata è banale! ... La derivata sarà sempre positiva o nulla.
Saluti.
