Integrabilità della funzione di Dirichlet

[daniele21]

salve avrei una domanda sulla funzione di Dirichlet.
questa non è reiman intergabile poichè ha un numero infinito(non numerabile) di punti di discontinuità.
tuttavia prima di tale affermazione la prof ci ha dimostrato che questa non è derivabile poiche se considerassimo la definizione di integrale e scegliessimo come punti interi agli incrementi (suddividendo l'insieme di definizione in n parti) le cui ordinate sono le altezze dei rettangoli , punti razionali allora l'integrale risulterebbe uno, viceversa scegliendo numeri irrazionali 0.
tuttavia non riesco ad associare l'idea di calcolare l'integrale di una funzione per punti, cioè geometricamente tutti i punti razionali le cui ordinate sono 1 non formano una linea continua e quindi non dovrebbero sottendere nessuna area => cioè non avrebbe prp senso calcolare l'integrale secondo me.
potrebbe delucidarmi questo passaggio la ringrazio.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, la definizione di integrale secondo Riemann richiede che una funzione per essere integrabile deve essere "limitata" e "continua a tratti" (cioè con al massimo un numero finito di discontinuità di 1° o 3° specie) e non deve quindi per forza essere "continua" come alcuni testi dicono!!
L'integrabilità di Riemann funziona quindi anche per funzioni non continue ma con un numero finito di discontinuità di tipo suddetto.

Ora la funzione di Dirichlet ha un grosso problema: possiede un numero infinito di discontinuità e pertanto la definizione di integrale secondo Riemann non è applicabile.

Per questo tipo di funzioni "molto strane" è stato inventato un altro tipo di integrabilità altrettanto "strano" detto "Integrale di Lebesgue" che introduce il concetto di "misura" secondo Lebesgue. Si tratta di una generalizzazione dell'integrale di Riemann che permette di definire l'integrale per una più ampia classe di funzioni più strane. Questo tipo di integrale non appartiene ai normali corsi si Analisi 1 e 2 ma a corsi di analisi più avanzata.

Ecco un utile riferimento su Wikipedia: Integrale di Lebesgue

Saluti.


PS: Ti prego di fare più attenzione a postare nelle appropriate categorie. Qui siamo nella categoria delle "Tecniche di Integrazione >> Integrali Immediati o quasi Immediati". Lo User Admin provvederà a spostare questo topic nella categoria "Definizione di Integrale Definito e Integrabilità".