Derivabilità e continuità di una funzione a tratti

[stefanostincone]

gentile Prof Schirinzi
no ho trovata un'altra

\[f(x)=\left\{\begin{matrix} x^3 cos(1/x^2) .....x\neq 0\\ 0 .... x=0 \end{matrix}\right.\]

chiede per quali valori di \[\alpha > 0\] si ha che \[f(x) = o(x^{\alpha })\]

non ne abbiamo fatte mai alle esercitazioni di queste cose e visto che è un tema d'esame ce la stiamo facendo sotto... Ci potrebbe fare una breve spiegazione?

grazie per la disponibilità

[maurizio.schirinzi]

Ciao, questo tipo di esercizi richiede in sostanza di calcolare il seguente limite parametrico:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}cos(\frac{1}{{{x^2}}})}}{{{x^\alpha }}} = [\frac{0}{0}]\]
e studiare il limite trovando per quali valori di alfa il limite fa zero, cioè la funzione f(x) nell'intorno di zero è un infinitesimo di ordine superiore rispetto all'infinitesimo di confronto ${{x^\alpha }}$. In altre parole per quali valori di alfa si ha che:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}cos(\frac{1}{{{x^2}}})}}{{{x^\alpha }}} = 0\]
Saluti.


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