Mi pare che ci sia un grave errore nel tuo procedimento. Ecco lo svolgimento corretto:
\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{e^{bx + {a^2}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \le 0\\
x + b(sen(x) + 1)\;\;\;\;\;x > 0
\end{array} \right.\]
Studiando la continuità nel punto x=0 si ha:
\[\begin{array}{l}
{x_0} = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
f(0) = {e^{{a^2}}}\\
\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [x + b(sen(x) + 1)] = b\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {e^{bx + {a^2}}} = {e^{{a^2}}}
\end{array} \right.
\end{array}\]
dunque la condizione di continuità nel punto x=0 sarà:
\[{e^{{a^2}}} = b\]
Studiando la derivabilità in x=0 con il Teorema Criterio di Sufficiente Derivabilità si ha:
\[\begin{array}{l}
f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{e^{bx + {a^2}}}b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < 0\\
1 + b\cos (x)\;\;\;\;\;x > 0
\end{array} \right.\\
{f_ - }'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f'(x) = {e^{bx + {a^2}}}b = {e^{{a^2}}}b\\
{f_ + }'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f'(x) = 1 + b\cos (x) = 1 + b
\end{array}\]
dunque la condizione di derivabilità in x=0 sarà:
\[{e^{{a^2}}}b = 1 + b\]
Mettendo a sistema le 2 condizioni si ha:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{e^{{a^2}}} = b\;\;\; \to \;\;\;{a^2} = \ln (b)\;\;\; \to \;\;\;a = \pm \sqrt {\ln (b)} \;\;\; \to \;\;\;a = \pm \sqrt {\ln (\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2})} \\
{e^{{a^2}}}b = 1 + b\;\;\; \to \;\;\;{b^2} - b - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;b = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\;\;\; \to \;\;\;b = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.\]
Saluti.
