Problema di max e min

[ascaplboh]

Salve!! Può aiutarmi nella risoluzione di questo esercizio?
Calcolare il massimo ed il minimo della funzione:(col metodo dei moltiplicatori di Lagrange)

f(x,y)=\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\]


nell'insieme

E=\[\left \{ (x,y): \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}\leq 1\right \}\]

[maurizio.schirinzi]

Ciao, poichè lo studio completo di una funzione di 2 variabili su dominio vincolato è troppo lungo da postare qui, ti riporto i passaggi fondamentali.

Per evitare una maggiore complicazione nello studio e nei calcoli potresti, per questo specifico esercizio, operare un cambio di variabili, ponendo u=1/x e v=1/y, dato che sia la funzione che il vincolo sono espressi per fortuna in funzione di 1/x e di 1/y.

Operando in questo modo ottieni:
\[f(x,y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = u + v\]
e il vincolo diventa
\[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} \le 1\;\;\; \to \;\;\;{u^2} + {v^2} \le 1\]
cioè un cerchio di raggio 1 rispetto alle nuove variabili u e v.

A questo punto è facile procedere con il solito metodo della Lagrangiana per i max e min sul bordo del cerchio, cioè sul vincolo (bordo della circonferenza) di equazione
\[{u^2} + {v^2} = 1\;\;\; \to \;\;\;{u^2} + {v^2} - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;g(x,y) = {u^2} + {v^2} - 1\]
\[L(x,y,\lambda ) = f(x,y) + \lambda \,g(x,y)\]
avendo cura ovviamente di cercare prima i max e minimi relativi nella parte interna del cerchio (escluso il bordo di circonferenza) imponendo il gradiente nullo e studiando l'Hessiano nei soli punti interni al cerchio (escluso il bordo della circonferenza).

Successivamente procedi trovando i max e minimi relativi sul bordo della circonferenza con il metodo della lagrangiana e alla fine confronti le quote di tutti i max e min trovati (compresi quelli interni al cerchio) per individuare i max e min assoluti.

Alla fine di tutto ricambi le coordinate dei punti trovati da (u,v) a (x,y).

Saluti.

[ascaplboh]

Veramente ciò che mi preme di più di questo esercizio sono le considerazione da fare sul fatto che l'insieme è chiuso ma non limitato, pertanto non è assicurata l'esistenza del max e min secondo Weirstrass.

[maurizio.schirinzi]

E' vero! ... ma il fatto che non è assicurata l'esistenza dei massimi è minimi assoluti da Weirstrass non vuol dire che poi non possano esistere.

E' evidente che il problema di questa funzione è per x=0 o y=0 dove non esiste e in prossimità di quei punti va all'infinito.

Dunque occorrerebbe fare un'analisi più accurata nell'intorno del solo punto (0,0) con i limiti per capire cosa succede li, mentre per il problema dei massimi e minimi vincolati sul bordo del cerchio (la circonferenza) il problema non si pone e il massimo e minimo assoluto possono esistere, ma solo sul vincolo circonferenza!!

E' chiaro che se il dominio vincolato è quello dato poichè la funzione va all'infinito in prossimità di x=0 o y=0 allora non ci sono max e minimi assoluti, mentre ci saranno se mi limito a considerare il solo vincolo circonferenza (bordo del cerchio)!!

Saluti.