Integrale indefinito fratto con numeratore maggiore del denominatore

[vinx91ct]

Ciao, ho un piccolo problema con questo integrale indefinito fratto

\[ \int \frac{x^{2}}{x+1} \ dx \ \ \xrightarrow[finale]{risultato} \ \ \left [ \frac{x^{2}}{2}-x +log(x+1) -\frac{3}{2}+c\right ] \]

In questo caso il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore e quindi passiamo ad eseguire la divisione tra numeratore e denominatore

\[\widehat{x^{2}}+0\cdot x+0 \ \ \ \ || \ \ \ \underline{\widehat{x} +1} \]
\[ \underline{-x^{2}-x \ \ \ \ \ \ \ || \ \ x} \]
\[\setminus \setminus -x\]

Quindi il quoziente (Q) è uguale a x, il resto (R) a -x e il divisore (D) a (x+1). Dalla formula generale

\[\int Q(x)\ dx+\int \frac{R(x)}{D(x)}\ dx\]

si ricava che

\[\int x\ dx\ -\int \frac{x}{x+1}\ dx=\]

\[=\frac{x^{2}}{2} -\int \frac{x+1-1}{x+1}\ dx=\]

\[=\frac{x^{2}}{2} -\int (1-\frac{1}{x+1})\ dx=\]

\[=\frac{x^{2}}{2} - \left [ \int 1\ dx- \int \frac{1}{x+1}\ dx \right ]=\]

\[=\frac{x^{2}}{2} - [x-log \ |x+1|\ ] \rightarrow \frac{x^{2}}{2} -x+log \ |x+1| +c \ \ (\bigotimes risultato \ errato!)\]

Dove sbaglio? E poi perché anche qui il risultato corretto non tiene in considerazione il valore assoluto? Se non ci fosse il valore assoluto e x fosse (-1), la frazione di partenza si annullerebbe...

Grazie in anticipo per l'aiuto

[maurizio.schirinzi]

Ciao, NO!! ... il tuo risultato è giusto e il valore assoluto va messo!! ... Il 3/2 nel risultato presunto da dove viene??

Mi sembra sbagliato ... anche se in generale quando 2 primitive risultano differenti solo per una costante in realtà sono entrambe giuste per l'integrale, poichè come sappiamo appartengono alla stessa classe delle primitive che rappresenta il risultato dell'integrale indefinito.
Tutte le primitive di uno stesso integrale differiscono sempre per una costante e dunque quel 3/2 (anche se fosse giusto) si può pensare inglobato nella costante c.

In altre parole, e in generale, se si seguono 2 procedimenti diversi per risolvere un integrale e questi due procedimenti portano a 2 differenti primitive che differiscono per una costante, queste saranno entrambe giuste perchè appartengono alla stessa classe di primitive note a meno di una costante.

Anche seguendo un altro procedimento come il seguente per scomposizione per risolvere l'integrale si ottiene la stessa primitiva da te trovata:
\[\int {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \;dx\; = \int {\frac{{{x^2} - 1 + 1}}{{x + 1}}} \;dx = \int {\frac{{(x - 1)(x + 1) + 1}}{{x + 1}}} \;dx = \]
\[ = \int {[(x - 1) + \frac{1}{{x + 1}}} \;]\;dx = \int {(x - 1)} \;dx + \int {\frac{1}{{x + 1}}} \;dx = \]
\[ = \frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left| {x + 1} \right| + c\]
ma in ogni caso il valore assoluto ci va per forza; non c'è nessuna condizione di dominio nella funzione iniziale che impone x+1>0 !!

Quindi il risultato della fonte del tuo esercizio è sbagliato!!

Saluti.

[vinx91ct]

A dire il vero quel risultato l'ho visto tramite il tool del sito internet http://www.youmath.it
(vedi qui -> http://www.youmath.it/ym-tools-calcolatore-automatico/analisi-1/calcolare-gli-integrali-indefiniti.html)

Posto l'immagine del sito e del tool che risolve automaticamente questo integrale indefinito (giusto per semplificare la cosa):



In alto a destra rispetto al risultato finale (scritta in blu), se si clicca la voce Step-by-step solution (bisogna naturalmente entrare nel sito internet postato poco più su e scrivere il testo originale dell'integrale), si può vedere qual è il procedimento svolto dalla macchina.

[maurizio.schirinzi]

Si! ... i programmi automatici a volte seguono procedimenti algoritmici che possono essere un po diversi dai ragionamenti e dalle tecniche manuali, pertanto in alcuni casi può capitare, nel caso ad esempio della ricerca delle primitive, che spunti fuori una costante aggiuntiva nel calcolo della primitiva stessa che ovviamente non compromette il calcolo dell'integrale indefinito per i motivi su detti (le primitive sono infinite note a meno di una costante!).

Tuttavia, nel caso di questo esempio, la primitiva è sbagliata per un altro motivo: la mancanza del valore assoluto nell'argomento del logaritmo. L'algoritmo infatti non ha previsto questa cosa; d'altra parte è ancora in versione beta come si legge in alto a destra del widget di calcolo!

Saluti.

[vinx91ct]

Ottimo, grazie della dritta (non ci sarei mai arrivato da solo ). Dovrò fare più attenzione quando guardo il risultato, magari visitando fonti più attendibili (vedasi libri di matematica cartacei).

Comunque grazie ancora dell' informazione illuminante.