Stabilire l'ordine di una funzione

[Matematica95]

Salve a tutti, vorrei un aiuto per il calcolo dell'ordine in x_0=0 della seguente funzione:
$f(x)=(1+x)^x−1−x^2$
Grazie in anticipo!

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[f(x) = {(1 + x)^x} - 1 - {x^2}\]
trasformando prima l'esponenziale a base variabile in esponenziale a base fissa si ha:
\[f(x) = {(1 + x)^x} - 1 - {x^2} = {e^{\ln {{(1 + x)}^x}}} - 1 - {x^2} = {e^{x\ln (1 + x)}} - 1 - {x^2}\]
calcolando le asintotiche della funzione nell'intorno di zero approssimando il logaritmo al 2° ordine e poi l'esponenziale al 1° ordine di Taylor si ha:
\[{e^{x\ln (1 + x)}} - 1 - {x^2}\mathop \cong \limits_{x \to 0} {e^{x\ln (1 + x)}} - 1 - {x^2}\mathop \cong \limits_{x \to 0} {e^{x(x - \frac{1}{2}{x^2})}} - 1 - {x^2}\mathop \cong \limits_{x \to 0} \]
\[\mathop \cong \limits_{x \to 0} {e^{{x^2} - \frac{1}{2}{x^3}}} - 1 - {x^2}\mathop \cong \limits_{x \to 0} 1 + ({x^2} - \frac{1}{2}{x^3}) - 1 - {x^2}\mathop \cong \limits_{x \to 0} \]
\[\mathop \cong \limits_{x \to 0} 1 + {x^2} - \frac{1}{2}{x^3} - 1 - {x^2} = - \frac{1}{2}{x^3}\]
dunque l'ordine dominante dell'asintotica nell'intorno di zero è quello di $ - \frac{1}{2}{x^3}$

Saluti.


PS: Essendo questo un esercizio di calcolo di asintotiche con gli sviluppi di Taylor il topic verrà spostato dallo User Admin nella categoria più appropriata "Calcolo Limiti Vari con Sviluppi di Taylor-Landau".

[Matematica95]

La ringrazio ingegnere... Un'altra domanda... Avendo appurato che l'ordine dominante è quello di $(-1/2)x^3$, ne consegue che l'ordine della $f(x)$ è 3?
Inoltre volevo conoscere la differenza tra l'impiego o meno del simbolo di Landau, essendo stato questo esercizio risolto senza l'impiego del cosiddetto "o piccolo"... Grazie in anticipo!

[maurizio.schirinzi]

Si! ... l'ordine della funzione è 3!

Riguardo ai simboli di Landau in questo esercizio, molto semplice, se ne può fare a meno ... ma se il tuo prof. li richiede nello svolgimento puoi metterli come si fa di solito nel calcolo dei limiti con Taylor-Landau (vedi i video-tutorials relativi).

Saluti.

[Matematica95]

La ringrazio!
Ho un'altra domanda... Ci sono dei "trucchi" per capire ad "occhio" a priori se un limite necessita dello sviluppo con Taylor per essere risolto o se è risolvibile per mezzo dei limiti notevoli?

[maurizio.schirinzi]

Il primo indizio e sempre la complessità dell'espressione matematica della funzione là dove, con una gestione attraverso i limiti notevoli, comporterebbe delle manovre algebriche troppo complesse se non addirittura impossibili!

Tuttavia alcuni limiti, con espressioni matematiche anche molto semplici se non addirittura banali, non si riescono a risolvere con le tecniche dei limiti notevoli per i motivi (molto importanti!) descritti abbondantemente nei video-tutorials di esercizi sulle tecniche di calcolo dei limiti con Taylor.

Ti consiglio, per comprendere bene il perchè in certi limiti diventa necessario operare esclusivamente con Taylor, di guardare i video disponibili nel sito nelle due PlayList dedicate a Taylor (a partire dai primi più vecchi!) che abbiamo evidenziato nel seguente post di questa stessa categoria di argomento:

Video-Tutorials disponibili per questa categoria di argomento !!

Saluti.